数学の答案の論理構造

質問

（前回の質問内容）
数学の答案の論理構造として、十分性が成り立っているから、次の行へと話が進んでいき、最終的に答えが出るのか?
それとも必要十分性が成り立つから次の行へと話が展開していき、最終的には答えが出るのか?
（今回の新たな内容）
そもそもこのような疑問を抱いたのはある問題集に次のような記述が見られたことでした。
（本の記述）
数学の問題を解くということは、問題文に対して、必要十分条件を答えることです。もっといえば、必要十分条件の中から、１番コンパクトな形態をしたものを答えというのでしょう。
問題を解く際、解答では、毎行毎行同値変形を繰り返し、答えという名の必要十分条件へと至ります。
（疑問点）
最初わたしは、A⇒Bが成り立てばよいAがBの十分条件でありさえすればよいと思っていたのですが、そもそも必要性議論し尽くされなければ、十分性へと進んではならないとのことでした。

必要十分というのは、あえて、A⇒Bの形を無視して考えると、（そのほうが凡庸性が高い）議論がし尽くされた状態ということですが、毎行の同値変形の繰り返しというのはつまり、議論を十分に尽くして、次の議論へと進んでいる。ということなのでしょうか?

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

＞最初わたしは、A⇒Bが成り立てばよいAがBの十分条件でありさえすればよいと思っていたのですが、・・・

　まぁ～これが、最も頻繁に行われる数学の議論です。ただ「AがBの十分条件」というよりは、「BはAの必要条件である」という意識で進めます（Aが成り立つなら、絶対にBが成り立つというセンスです）。

　同値変形については記憶違いでなければ、Aを、A⇔B（注：⇒ではありません）が必ず成立するようなBに変形する事だったと思います。日常的にはこのような変形が案外と多くて、代表は等式の変形（移項など）です。等式の変形は最初から同値変形とわかっているので、変形結果が必要か？十分か？などとは気にしません。

　数学の多くの定理は、じつは必要条件を導くものです。ところが導ける必要条件は、ふつう一つではありません。そして導けた必要条件の組み合わせの一つが、最初の条件の十分条件になる事があります（というか、それを目指します）。その時に、最初の条件の特徴付けが出来た、と言われます。

　ここでは問題文をAとしておきますか。こんな具合です・・・。

　A⇒Bを導けた。そしてA⇒Cも導けた。ところが、(BかつC)⇒Aは明らかだった。したがってA⇔(BかつC)である。BとCによるAの特徴付けが出来た。BやCという条件は、Aよりも遥かに使いやすくわかり易い。

　「Aと同値で、Aよりも遥かに使いやすくわかり易い」事、これが「解けた」という事です。xに関する方程式とx＝の結果は、じつは同値です。しかし欲しいのは、x＝の結果の方であるのと同じです。

　しかし(BかつC)という記述は長いねぇ～。(BかつC)をDと「呼ぶ」事にしよう。

　・・・これが・・・、「定義」なんですよ(^^；)。