底辺・高さ一定(面積一定)の三角形の二辺を求める式

質問

☆前提条件
　・鋭角三角形ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下した垂線の足を点Hとおきます。
　・辺ABの長さを“L”、辺CHの長さを“h”、辺AHを“x”、辺AC+辺CBの長さを“y”とおきます。
　　※これより条件として　0＜x≦L/2　が出ます。

☆質問
　このL、hが一定の時の『x=f(y)』、もしくはシンプルな形の『y=f(x)』を知りたいです。

☆質問に際して
　この条件で　y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2)　となるのはわかるのですが、このままでは最終的な目的のために計算がしにくく（後述）不都合なため、他の計算方法がないものか、ヘロン、三角関数(この場合変数が更に増えてしまい…)等も考えてみたのですが、どれも計算しきれずお手上げ状態で、皆様のお力をお貸し願えないか、という次第です。

☆最終的な目的(この質問に行き当たった経緯)
　一定長に張った弦の下に駒を置き、駒を動かす事により音程を変える。
　この場合、駒の場所で張力が変化するため(弦の両端に近いほど張力が大きくなり、弦長の半分で張力が一番小さくなる)、単純な弦長の比率のみで音程（音階）決定ができない。
　ヤング率や線密度、断面積等を設定し、張力変化を加味した上で、この駒の位置を計算により求めたい。

　この計算において、張力変化は弦長の変化による歪みより求められ、この歪みを計算するために質問事項が必要になってきました。
　駒の位置→周波数　は計算しやすく簡単に出てくるが、　周波数→駒の位置　を求めたいため、逆関数にしようと試みたが、質問の件がネックとなり求められなかった。
　質問の値とこの目的における値との関係は、一定長の弦の長さがLとなり、駒の高さがhとして、駒の位置変化xによる総弦長がyとなっています。

☆この質問に関して…
　この三角形の辺長や、それに付随するであろう角度の法則は、なんとなくシンプルな法則がありそうには思ってはいるのですが、それに類するものをネット上からも見つけることができませんでした。
　キーワード設定が悪かっただけかもしれませんが。

　本来の目的を考えると、xが0に近づくと、張力は非常に大きくなってしまうため、本来のxは「“ある程度以上”よりL/2まで」なので、近似式でも問題ないようであれば近似式でも良いです。
　ただし、弦長はあくまでも簡単に持ち運びができ、なおかつ1オクターヴは表現したいため、張力変化のあまり影響のない範囲で、という近似は不可と願います。(Lは最大1m程度と考えています。)
　逆に音の変化を確実にするため、hを小さくすることは不可能ではないため、こちらの上限を考えた方が早いようであればその計算方法等でも問題ございません。

　なお、複雑な(?)公式等を使う必要がある場合は、ある程度その説明や参考URL等を載せておいていただけると助かります。
　こんな変なことを考えるのは好きなのですが、決して数式等に強いわけではないので、大変ご面倒をおかけします…。

　また、こういった質問コーナーの回答でよく見かける、「計算で出さず、実測した方が早いですよ」等の至極当然のお答は、大変申し訳ございませんが求めておりませんのでお断りさせていただきたく思いますm(_ _)m
　あくまで計算で求めたい、というのが目的ですので、大変失礼だとは思いますが、よろしくお願いいたします。
　ただし、excelのソルバー等を利用して「こうすれば求まるのでは？」というアドバイス等はありがたく頂戴いたします。
　最終計算式がややこしく、何ともならないようであればそれも仕方ないのか…とは思っておりますので。

　以上、注文も多く、文才がないため文章がややこしい質問ですが、どうぞお力添えのほどよろしくお願いいたします。

回答No.8

178-tall · ベストアンサー

< ANo.5
の数値例についての蛇足。

>L=40, x=5, h=4 。
>　y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) = 41.63
>　ya=L*{1 + (h^2/{2x(L-x) })] = 41.83　(近似誤差　約 0.5 % )

に対する
< ANo.7　のカーブ・フィッティングで得られた「実験式」の一例です。

　dy = k*|(L/2)-x|^3
　y = y_min + dy
　　　k = 2.54(E-4), y_min = 40.79
L=40, x=5, h=4　の結果は、
　y = 41.65　(近似誤差　約 0.05 % )

…数値は僅差ですけど、近似誤差は一桁改善されました。

お礼

ありがとうございます。
　お礼をさせていただいたつもりがうまくできていませんで、今になりました。

　たくさんありがとうございます。
　近似ということを完全に失念しておりました。
　これでやると大分計算できる形になりましたので本当に助かりました。
(新たな問題として4乗の式が出てきて、解の公式としてやろうと思うとかなり複雑になってしまいましたが…(T_T)これはまた別の問題です。)

　本当にありがとうございました！

回答No.7

178-tall

少々、蛇足を。

>…回答でよく見かける、「計算で出さず、実測した方が早いですよ」等の至極当然のお答は、大変申し訳ございませんが求めておりません…

これは有力な一手なのかも…。もっとも、現物で「実測」するわけじゃありません。

わずかな「弦長の変化」を理論式ないしその近似式で追っかけると、どうしても大げさになりそう。

この課題では、全弦長の半分にて最小弦長 y_min、一端まで「駒」をずらしたとき最大弦長 y_max ですね。
ならば、最小弦長 y_min を超える増分 dy に着目し、それを単純なカーブでフィッティングするという手は如何？

たとえば、
　dy = k*{(L/2)-x}^m
として、
　y = y_min + dy = y_min + k*{(L/2)-x}^m
という算段です。

この程度の「近似」で、「一次近似」よりは誤差を減らせそうな気配…。

回答No.6

178-tall

>この条件で　y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2)　となるのはわかるのですが…

y が無理項の和なのは、イロイロと扱いにくい。
「d が十分小さければ　√(1+d)≒1+d/2」は単に無限級数を一次近似で打ち切ったもので、無理式を有理式で近似したければ「パデ近似」が便利かもしれません。

参考 URL の Pade Table / An example – the exponential function
の中にある {m,n} = {1,0} の式、
　e^z ≒ (1+z)/1
が　√(1+d)≒1+d/2　に相当。
(1+d) = e^z ≒ (1+z) ならば z=d なので、
　√(1+d) = e^(z/2) ≒ 1+(z/2)
… というわけ。

{1,1} の式　e^z ≒ (2+z)/(2-z)　はよく実用に供されます。
　(1+d) = e^z ≒ (2+z)/(2-z)
なら z=2d/(2+d) なので、
　√(1+d) = e^(z/2) ≒ {2 + d/(2+d) } / {2- d/(2+d) } = (4+3d)/(4+d)
なるパデ近似を得る。
確かに、{1,0} の式よりも近似精度が上がります。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_table#An_example_.E2.80.93_the_exponential_function

回答No.5

178-tall

当てずっぽの数値例ですけど、
　L=40, x=5, h=4 。

　y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) = 41.63

　ya=L*{1 + (h^2/{2x(L-x) })] = 41.83　(近似誤差　約 0.5 % )

回答No.4

178-tall

誤算訂正のつもりですが、吟味ください。

y = √(h^2+x^2) + √(h^2+(L-x)^2)
= x*√[1 + (h/x)^2] + (L-x)*√[1 + {h/(L-x)}^2]
≒x*[1 + (1/2)*(h/x)^2] + (L-x)*[1 + (1/2)*{h/(L-x)}^2]
= L + (h^2/2)*[ (1/x) + {1/(L-x)}]
= L*(1 + [h^2/{2x(L-x) } )

回答No.3

178-tall

>y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2)　となるのはわかるのですが…

実用向けのハナシらしいので、近似式の利用を検討するのも一手でしょう。
d が十分小さければ　√(1+d)≒1+d/2　という単純な一次近似です。

y = √(h^2+x^2) + √(h^2+(L-x)^2)
= x*√[1 + (h/x)^2] + (L-x)*√[1 + {h/(L-x)}^2]
≒x*[1 + (1/2)*(h/x)^2] + (L-x)*[1 + (1/2)*{h/(L-x)}^2]
= L + (h^2/2)*[ (1/x) + (1/(L-x) )]
　…

回答No.2

spring135

>※これより条件として　0＜x≦L/2　が出ます。
こんなことはいえません。要するに0＜x≦L/2の条件下で計算したいと言うことですね。

y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2)　　(1)

は最も簡単な式でこれをいやがるようではこの計算は望み薄ですね。後は三角関数を使う方法もありますが(内容的には(1)を使うのと等価です。）問題の正確から見て角度の話もしたくないでしょう。

最も分からないのは

＞駒の位置→周波数　は計算しやすく簡単に出てくるが、(2)

と言う意味です。これが確定しているなら逆問題として簡単に所期の解も得られるはずです。何しろ難しいことはしていないから。(1)をxで微分してみればすぐ分かるようにx=L/2（ＨがＡＢの中点)のときyは最小となりいずれにしろこれを基準に張力の増加を考えていくべきですが、(2)の部分を説明してください。

補足

ご質問ありがとうございます。

　そうですね…^^;
大分説明をすっとばしてしまったもので、その条件が出るということがわかりにくいですね。

　「『鋭角三角形』という条件より　0<x<L　の条件が出るのですが、(spring135様のご指摘の通り)　x=L/2　の最小値を中心として左右対称になるのは明らかなので…」という部分を省いて書かせていただきましたm(_ _)m
　もし、0<x<L　の方が計算式が楽になったり、計算しやすかったりするのであれば、それでも一向に構いません。鋭角三角形下の問題でさえあれば…。
　左右対称であれば、条件範囲が狭い方がいいかな？という素人判断なだけですのでね^^;

　(2)の部分は質問の部分が明らかになることで解消いたしますし、多分別解をしていただける方には長々と説明しなくてもわかる部分だろうなぁ、と思い、不必要かと判断し省かせていただいておりました^^;すみません。

　全部記載いたしますと長々となりますので、計算手順のアウトラインのみでもよろしいでしょうか？

(1)駒の位置より弦長変化を計算(逆式を作る時、この部分がネックとなり、質問させていただいております。)
(2)それより、歪み、応力、と求め、断面積Aを与えることで張力増加(駒を入れていない段階での張力Sを基準の張力としています)を計算
(3)張力増加と駒の位置(弦の長さ)、各種条件(ヤング率E、線密度ρ)より周波数が求まる
※周波数は固有振動数のうち、倍振動を考えず、基本振動のみとして考えております。

　以上で大丈夫でしょうか？
　これでは不十分でわからない、とおっしゃられるようであれば、長くなるのを覚悟で記載させていただきますが…;;

　それではよろしくお願いいたします。

回答No.1

ORUKA1951

ひょっとして、弦の下にというのは、箏(琴じゃない)のようなものを想像されているのですか？
　箏の場合、移動する柱(じ)---駒、ブリッジ---によって音程を調整できますが、別途張力を調整する仕組みがあるので柱の左右の張力は同じと考えてよいです。

お礼

早速にありがとうございます。

　想定としては１弦のみで、駒を動かして音程を変えられる、といった程度の物で、工作の輪ゴムギターに毛が生えた程度の代物です。(その程度の物をこんなに考えなくてもいいのですがね…^^;性格上気になるとほっておけない性質でして。)

　また、“駒の左右”の張力の話ではなく、駒の位置により“弦そのもの”の張力変化を起こすために、通常の比率の位置に駒を移動させても望んだ音程を表現できない、という点を気にしております。
　ご指摘していただきました意図を取り違えておりましたらご容赦ください。

　ただ、単純に『張力を調整する仕組み』という点には興味がそそられますので、また機会があれば調べてみようと思います。