Oを原点とする座標平面において関数y=x^2 +x

質問

Oを原点とする座標平面において関数y=x^2 +x +1のグラフを考える
このグラフ上の点(p,p^2+p+1)における接戦の方程式が(a,a)を通る時にその接戦の方程式は2本存在し2本の接戦が直交するための必要十分条件を求めよ
という問題なのですが全くわからないのでご教授よろしくお願いします。

回答No.1

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y = x^2 + x + 1 …… (1)
より、
y' = 2x + 1

よって、放物線上の点(p, p^2 + p + 1)における
接線の傾きは2p + 1
この接線が点(a, a)を通るから、接線の式は
y - a = (2p + 1)(x - a)より、
y = (2p + 1)x - 2ap …… (2)

(1)(2)を連立させてできる2次方程式x^2 -2px + 2ap + 1 = 0は重解を持つ。
判別式D/4 = p^2 - 2ap - 1 = 0
p = a ± √(a^2 + 1) …… (3)
接線の傾きは
2p + 1 = 2a + 1 + 2√(a^2 + 1), 2a + 1 - 2√(a^2 + 1)

2直線が直交するとは、それらの傾きの積が-1であるということであるから、
{2a + 1 + 2√(a^2 + 1)}{2a + 1 - 2√(a^2 + 1)} = -1
(2a + 1)^2 - 4(a^2 + 1) = -1
4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4 = -1
4a = 2
a = 1/2

(3)に代入する。
p = (1 + √5) / 2, (1 - √5) / 2
接線の式は
y = (2 + √5)x - (1 + √5) / 2
および
y = (2 - √5)x - (1 - √5) / 2

2接線の傾きの積 = (2 + √5)(2 - √5) = -1
であるから、2接線は直交している。
また、2接線はともに(1/2, 1/2)を通る。

よって、先に求めたa = 1/2を、当該の必要十分条件としてよい。