偏差値の計算について

質問

例えば学校のテストなんかで、
平均点：A、標準偏差：S
だった場合、点数がxだった人の偏差値（Std）は
Std = 50 + 10*z, z = (x - A) / S　　　【式(1)】
と計算できます。

ここからが質問なのですが、質問は２点です。
まず、学校のテストは多くは下限点が0、上限点が100ですが、
【式(1)】に出てくる50だとか10だとかは、0点以上100点以上のテストにおいて
何か意味のある数字なのでしょうか。例えば50は上限点と下限点の平均値ですよね。
あるいは特に意味はなく、偏差値を定義するときに唐突に現れる数値なのでしょうか。

また、これをもう少し一般化して、
下限点i、上限点jのテストだった場合、偏差値の計算は【式(1)】からどのように変わるのでしょうか。
iとjは整数値とします。

解答に対して補足やお礼をせず放置することはしませんので、よろしくお願いいたします。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

【式(1)】に出てくる50だとか10だとかは，式1で計算される偏差値が50の近所に来るようにする以上の意味はありません。その程度の数値であれば，なんとなく100点満点の試験の点数のようで馴染みがあるでしょ。
zのままで表現してもなんの問題もない。

お礼

ありがとうございます。

つまり50,10といった数字には必然性はないのですね。
シンプルで分かりやすかったです。

回答No.7

customar

ご丁寧にありがとうございます。私は統計学も素人です。偏差値教育批判の趣味もありません。猫もしゃくしも偏差値を知っていて、へへーと神妙に子供を差し出す現代日本人が相当キモいと言う指摘です。つまり何だよその偏差値とかいう数値はよという批判過程が欠落している被支配民が高学歴レースをしながら別の顔では格差問題を交えたりするのが軽薄過ぎるのではないかと。

（１）町の声は聞いても始まらない人らに大層な是非を答えてもらう欺瞞ですがその観念の社会的実態の参考になります。偏差値について教育問題カテゴリなどで質問された方が趣旨である平均点を５０にする心理的背景も見えてくるのではないかという提案です。偏差値の中央値を１００点にしたらどう感じますかの次元が本題の理由ではないかと。偏差値の影響下で人生を決められた人らの声を集めた方が分かりやすいわけです。
数学カテゴリではないということです。

（２）（３）全国の高校生が検査不可能だからは、実施して得られたその平均点についての統計学が正規分布を利用するのです。平均点を学力偏差値５０点にして個々の生徒の位置を表現するのは全く別の作業ではありませんか。つまりその平均点についての議論なのか何なのかです。
果たして統計学の専門家がどれくらい正確に学力偏差値を引用されているのか、その傾向もまた右にならえの惰性なのではと。

お礼

ありがとうございます。

偏差値の利便性についての宣伝は十二分にされつくしていますが、一方で偏差値が母集団での自分のポジションを知るための一手掛かりに過ぎないことについては、利用者間で必ずしも十分な注意が向けられていないのかもしれませんね。

その程度のものに過ぎない偏差値に人生を振り回される人が少なからずいるのならば悲劇的なことですね。正直そこまで偏差値を盲信する利用者の責任としか言いようがない側面もあると思いますが・・・。

数度にわたる解答をありがとうございます。この質問はもうすぐ締め切ります・・・。

回答No.6

customar

数学カテの人らはキモい日本から逃避したい人らだと思います。社会問題教育問題カテゴリや学問その他などもあります。まるきり統計的な議論から外れないように指定するような質問文にされて回答の意見を閲覧するのも実情を客観する意味で悪くないと思います。馬鹿だとなんだとかよりも本テーマを最初のご動機通りに論理的に詰めるネタにされた方が質問者さの頭脳んには有益ですが、社会調査的にここの町の声から回答者の様子をも含め有害面を把握するという意義です。どのくらい分かって世間は騒いでいるのかと。
ちょっと前に大学生の数学能力の調査みたいのありましたよね、平均の意味が分かっているかとか。それは社会問題カテゴリーで結構質問投稿のネタになっていました、簡単な問題だろ全くそんなのも知らないのかゆとりだなと。では偏差値はどうか。あの調査の設問に平均の理解度が採用されたのと今回の偏差値は同じ根っ子に思います。いわば平均じゃダメなんだ偏差値なんだであの問題です。平均が分かってないというか誤解してしまう人らがそのまんま偏差値頼りに大学進学をしてしまうというのがギャグです。しかし就職だなんだよりもベルトコンベア式の方が教師は楽に儲かります。機械的に。空騒ぎでも。ダメ教師でも平等になります。つまり教師業の安泰。

統計をよく知りませんが、統計だから合否予測可能という先入観は良くないと思います。学力偏差値は単なる統計です。統計学のサイトでも偏差とはテストで皆さんご存知のあれですは望ましくない心理操作が働いてしまうでしょう。
まず正規分布しません。これだけでほぼ撃沈です。偏差値大戦艦もたったの一発です。
正規分布は調査して推定したりする統計作業における正規分布なのです。その偏差値を見つめる学生の受けたテストが正規分布してその偏差ではないのです。普通は５０点とされたその平均点を評価をする時に統計学じゃないのかと思いますが。

あいまいにしているから価値が高まるというのは日本人的に愚かです。そういう民族性で自滅していくのです。
今も学生は（校内でも）偏差値なんでしょうか。学力偏差値は最大級の社会問題に思えてきましたが合理的に批判されていませんよね。これは大アナですね。

お礼

ありがとうございます。

一応私の立場をはっきりさせておきますと、私は偏差値教育至上主義協会の回し者とかではありませんので、ご理解ください。
此度の質問も（質問文にもあるように）50,10といった数字の必然性を問うものであることをご理解ください。私の質問文が不足していたのでしたら私の落ち度です。

ただ、数年前の大学受験などではこの偏差値という統計情報を利用しましたし、一応それなりに有意義な情報であったなというくらいの評価をしています。ですから、学力偏差値を全否定する気も毛頭ありません。

よろしければ三点、解答内容に補足願えないでしょうか。

・社会調査的にここの町の声から回答者の様子をも含め有害面を把握するという意義です。

・統計学のサイトでも偏差とはテストで皆さんご存知のあれですは望ましくない心理操作が働いてしまうでしょう。

・正規分布は調査して推定したりする統計作業における正規分布なのです。その偏差値を見つめる学生の受けたテストが正規分布してその偏差ではないのです。普通は５０点とされたその平均点を評価をする時に統計学じゃないのかと思いますが。

この三点について、どのようなことを仰りたいのかが理解できませんでした。

また解答内容についてですが、学力偏差値というのは自身の学力上のポジションを知る一つの手がかりのようなものであるはずです。おそらく、学力が完全に正規分布すると思っている人は、本当にごく一部しか存在しないのではないでしょうか。

しかし、全ての学生の真の学力分布をみるためにはすべて学生に対して同じテストを行わせ、その結果全てが集計される必要がありますが、現在の日本でこれは実地し得ないことです。だからこそ、直接観察しえない’真の’学力分布への近似として、正規分布の仮定を用いているというのが現実ではないでしょうか。

偏差値至上主義自体は批判されてしかるべきものと私も考えています。解答者様はその点について私の億倍ほど真摯に考えておられるようですが、解答内容を読んで気づいたこととして返答させていただきます。

暫くこの質問は打ち切りませんので、気が向いたらまた書き込んでください。

回答No.5

customar

日本の学力偏差値の生みの親らしい桑田昭三氏がその件について語ってはいないのでしょうか。これは戦後教育史というか社会現象として日本人の馬鹿さを象徴している現象だと思います。(知りませんが今の学生もなんですか？)人生を振り回されるのにその信憑性が議論されない。人生を振り回している教育関係者が批判的に利用していない。それが何で広まったか私には分からないような代物。質問者さんは経緯や妥当性を分かりますか(^^)これは奇妙ですね～情けなくなるほど。これまた馬鹿だという事だと思いますが。
桑田昭三氏も説明しない作戦をとってるんじゃないでしょうか。教育関係者の宗教の御神体です。

勝手に想像するしかないので。
意味は、説得力に尽きると思います(桑田氏自身がそういう目的の有用な詭弁を開発されたのだと思います)。
５０点が平均点でそこから標準偏差に従って位置を決める。１０点の方は明示的ではなく計算結果の偏差値が手頃だったわけです。人気商品というかヒトヨヒトヨみたいな大ヒットスタイルなのです。もし１００点を平均にしたら９０点の親子は喜んぢゃいます。１２０点でも１００点でもいいような気がしてきます。
内部でプロが評価をするためというより反対者や素人を説得するためなんです。その立ち上げ時点の形のままなんです。
生みの親はじめ中高の教育関係者の解説や回答を見ても統計のキモが分かっているとは思えませんから、批判的に社会現象の奇妙さの方を再考されるべきでしょう。

結局、教育学部でなく理工系出身者の桑田昭三さんは、教師の職人芸的な仕事内容を誰にでも公平な科学的な作業に変えた革命者ですね。たとえ論理的に破綻していたとしても。
偏差とか正規分布とか出てきて統計学的ですがこの学力偏差値はただの相対評価であり平均より上か下かと大差ありません。しかし同じ規則で算出される数値を眺める事が出来るようになったのです。センコーは馬鹿だから分かってねえとならずに偏差値見てガンバろうと。５０点以下は不味いなあと素直に。

お礼

ありがとうございます。

桑田氏への批判や統計のキモさ、愚かなる日本人や教育への問題意識など大いに語ってください。
本質問は数学カテゴリーの質問ですが、それは数学や、私の学力偏差値に対する素朴な疑問などよりもはるかに重要な問題でしょう。

この質問はしばらく締め切りませんので、またお答えいただく暇がありましたらよろしくお願いします！

回答No.4

hitokotonusi

＞あるいは特に意味はなく、偏差値を定義するときに唐突に現れる数値なのでしょうか。

そう思ってもさしつかえないです。
まあ，特に意味がないと言ってしまうと語弊がありますが。

入試などで出てくる偏差値は

平均点が，50
平均から標準偏差だけ離れた点が40，または，60

になるように定義されたものです。だから，どんな平均値，どんな得点分布でも，50なら平均，そこから10離れれば標準偏差分ずれていると読み取ることができます。一種の標準化です。(普通の標準化は平均０，標準偏差1ですが。)

％で言うのは分布の形によって数字が変わってしまうので，ちょっと危ない。

お礼

ありがとうございます。
理解しやすく、納得感も得られました。

回答No.2

ORUKA1951

200満点のテストでも結果は同じですよ。
平均を計算して、μとします。　　μ = (1/N)Σ(i=1)(N)xi
標準偏差σを求めます。　σ=√{(1/N)Σ(i=1)(N)(xi-μ)²}
偏差値は、10(x-μ)/σ　+ 50　ですから、10(x-μ)/σの部分で200点満点だろうが消えてしまいますね。
　実際に、15,25,80,120,140,180　程度の数を使って計算してみると良いでしょう。

　50は平均値ではなく、(何点満点だろうとその)平均との差を、(何点万点かの)標準偏差でわるのですから、この時点で（何点）は単純な割合になります。-0.2とか、0.3とか・・それを10倍して-20、30にして50を加えると、30点とか80点とかになります。

　もう一度、標準偏差、分散、偏差値の成り立ちを見直してみましょう。

お礼

ありがとうございます。解答内容について、いくつか質問をさせていただきます。

平均μ、標準偏差σの計算は私自信も既知ですし、その導出過程も解答者様が示した計算と一致しています。しかしながら解答に出てくる
10*( (x-μ)/σ )の部分が消える
というのはどういう意味でしょうか？

例えばこれはxの単位（テストなのでこの場合は'点'）が消えるという意味で間違いはないでしょうか。仮にそのような内容でしたら、それについては既知です。x,μ,σはすべて同じの単位を持ちますので、zは無単位数になりますね。

しかしながら、解答内容の最後で30点、50点などと単位を持っているのは何故でしょうか？

偏差値自体は無単位であるということ、そして（単位がないからこそ）変数の測定単位に依存せず、偏差値という同一の尺度で自身の正規分布上の立ち位置を知ることができるということが、私の偏差値についての理解です。

また解答内容には何故、偏差値を定義する上で、
zを10倍にしたうえ、そこにさらに50を足すという操作を行うのかが示されていませんが、そちらについて何かご解答頂けないでしょうか。

細かい内容も含まれていますが、お付き合いいただけるのであればご解答をお願い致します。

回答No.1

ura235

テストによって平均点は変わりますし　点数の分布も変わります。
それぞれのテストでじぶんの点数ガどれくらいの意味を持つのかを簡単に知る方法が偏差値です。
テストの点数が正規分布の場合、その偏差値を見れば　自分の点数がどれくらいのレベルかわかります。
偏差値50はその分布の平均値です。
偏差値60以上（あるいは40以下）は、全体の15.866％。
偏差値70以上（あるいは30以下）は、全体の2.275％。
偏差値80以上（あるいは20以下）は、全体の0.13499％。
であり　自分の点数の相対的な位置がわかります。

お礼

謝って補足の欄に書き込んでいましたね、
失礼致しました。

丁寧な解答でしたので、是非お礼ポイントを
付加したく思います。

補足

ありがとうございます。

偏差値の解釈自体は既知です。しかし自分の正規分布上のポジションを知るためだけならば、偏差値計算は必ずしも式(1)のようである必要はないのではないでしょうか。
例えば10*z、あるいは100*z、これらを偏差値としても機能は全く損なわれません。

にもかかわらず、z値を10倍して50を足すという操作を
行うことには、統計学的な意味があるのでしょうか。
また、もうひとつに質問についてはなにかご存じではないでしょうか。
よろしくお願い致します。