四則演算について

質問

（＋２）－（＋５）＝－３
（＋２）－（－５）＝７
（－２）－（＋５）＝－７
（－２）－（－５）＝３

数直線上で正の数は右側に、負の数は左側に増えるというルールがあり、その数で何かを引けば増える方向が逆になるというのは何となくわかるのですが、何かスッキリしません。もう少しうまく説明する方法はないでしょうか。

回答No.6

noname#227653

（＋２）－（＋５）＝－３はイメージしやすいのではないでしょうか。海抜２ｍの土地で５ｍの穴を掘ったら穴の底は海面より３ｍ低くなるとか、２万円の売り上げがあったけど仕入れに５万円使ったから３万円の赤字だとか。「＋」の記号を取れば２－５＝－３になって更にすっきりします。
（－２）－（＋５）＝（－７）も同様ですよね。（－２）－５＝－７ですから、海面より２ｍ低い土地で５ｍの穴を掘ったから穴の底は海面より７ｍ低くなった、という感覚はそれほどつかみにくいものではないでしょう。

問題はマイナスの数を足したり引いたりする計算です。これはイメージしにくいでしょう。現実の世界では「－５ｍを足す」「－5ｍを引く」などということはありえないからです。でもここが算数と数学の違いで、イメージできないもの、現実の世界では考えられないものでも計算できるのだ、ということを知るのが数学の第一歩なのだという気がします。

ただ、この計算を理解する前提としてそもそも「マイナスの数とはどういうものか」ということがわかっている必要がありますね。ここでは、説明する相手は「－１は０より１小さい数だ」という程度のことは理解しているとしましょう。その上で「マイナスの数を引く」とはどういうことか考えてみましょう。

さて、今10円持っていたとして、５円使ったら（現実には５円使うというのはほとんど不可能でしょうが）いくら残るでしょう。簡単すぎてばかばかしい気もしますが10－５で５円ですね。では４円使ったら？　10－４で６円です。３円使えば10－３で７円、２円使えば10－２で８円です。当たり前のことですが、引く数が１減ると残り、つまり答えは１増えますね。
これをきちんと式で書いていくと
（＋10）－（＋３）＝（＋７）
（＋10）－（＋２）＝（＋８）
（＋10）－（＋１）＝（＋９）
となり、更に引く数を１減らすと
（＋10）－０＝（＋10）
となります。引く数が１減るごとに答えは１増えていますね。だとしたら、引く数を更に１減らしたら、答えは更に１増えるはずですね。引く数を０から更に１減らして－１にすると、答えは更に１増えて11になるはずなのです。式にすると
（＋10）－（－１）＝（＋11）
となるはずです。
ここで、繰り返しになりますが大切なことは、「（－１）を引くということが具体的にイメージできなくていい」ということです。もっと正しくいうと「（－１）を引くということが具体的にイメージできないのにもかかわらず計算はできてしまう」ということを体験し、理解することが大切なのです。
というわけで、（＋10）－（－１）は（＋11）になるということが理解できれば、あとは計算方法の問題ですから、「じゃ『－（－１）』を『＋１』にして計算すればいいね」ということになります。

「マイナスの数を足す」も同様に説明できますね。

以上ですがいかがでしょうか。わかりにくいところや間違っているところがあったら補足をつけて下さいね。

お礼

ありがとうございます。
現実世界の認識と数学の概念は分けて考えた方が良いということですね。

回答No.5

ORUKA1951

中学校の数の拡張に関わる部分ですね。
指導方法にとても留意しなければならない部分です。
　大きな発想の転換を要する部分で、理解できないだろうからと手を変え品を変えて説明すると頭の中が真っ白になって受け付けられなりますよ。-----教職の教育心理学で----

　この単元で最も重要なのは、この数の拡張は正負もわからない未知数の加減乗除から、方程式へ進む最初の入り口ですね。それを踏まえて説明をしていきます。
　すなわち、小学校で学んだ引き算は「負数の足し算」、割り算は「逆数の掛け算」に置き換えられるようになることが目的です。それが出来て、[交換][結合][分配]ができるようになる。
負数:ある数に加えると0になる数
逆数:ある数にかけると1になる数

（＋２）－（＋５）＝－３
　(+2) + (-1)(+5)
　= (+2) + (-5)　　　数直線上の2から左に8
　= -3

（＋２）－（－５）＝７
　(+2) - (-1)*(+5)
　　= (+2) + (-1)(-1)(+5)
　　= (+2) + (+1)(+5)
　　= (+2) + (+5)
　　= +7

（－２）－（＋５）＝－７
　(-2) + (-1)(+5)
　= (-2) + (-5)　　数直線上の-2から左に5
　= -7

（－２）－（－５）＝３
　(-2) + (-1)(-5)
　= (-2) + (+5)　　数直線上の‐2から右に5
　= +3

要は、引き算・割り算という算術からの卒業が目的です。それによってその数が負であろうが分数であろうがなんであれ
　a ? b = b ? a　　?は＋か×　　－と÷はないので
　　3 - 2 ≠ 2 - 3 → 3 + (-2) = (-2) + 3
　　3÷2 ≠ 2÷3 →　3×(1/2) = (1/2)×3
　a(b+c) = ab + ac
　ab + ac = a(b+c)
　　これは引き算や割り算が足し算掛け算に置き換えたからできるようになる。
　すなわち、二次方程式がたった一つの一般式｛ y = ax² + bx + c }で表せ、因数分解や根の方程式、微分積分ができるようになるための最初のステップと言う事です。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

noname#190065

塾の先生ですか。ならば、あまり理屈をつけて説明されない方が良いと思いますよ。教える力量がないと、生徒さんがあなたの思考についてこれないのです。
　学校の先生であれば、先輩の教諭の方にお尋ねになるとよろしいかと思います。この正負の単元は、どのように導入され、どのように展開されるかがキモです。学校によって、教え方が異なるようですよ。
　失礼あれば、お許しください。

お礼

ありがとうございます。
私は塾の先生ではありません。質問文の書き方が悪かったですね。この質問は単なる趣味です。知らなくても生きてはいけますが理解できたら面白いのではないかと思ったのです。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

借金が減ると儲けが増える　なんてのはどうですか？

負の数の概念は9世紀くらいまでに、商業を通じて
広まったようです。

お礼

ありがとうございます。
負の概念ができたのは最近のことなんですね。

回答No.2

Le-Livre

質問者さんの疑問は、マイナスのマイナスがなぜプラスになるのか、ということだと思うのですが、合っていますか。

数学のこういう疑問は、正負に限らず、必ずつきまといますが、
これは、「抽象的な概念」の問題なので、感覚的に分かりにくいのは当然です。

例えば、次のような説明はどうでしょうか。

たろうくんがみかんを5つもっています。
弟のじろうくんに3つあげました。
たろうくんの手元に残ったみかんの数は、

5-3=2　か、5-(+3)=2　ですよね。

これを「言葉の式」にすると、

5-[じろうくんにあげたみかんの数]=[たろうくんの手元のみかんの数]　ですね。

今度は、逆に弟のじろうくんが、たろうくんにみかんを3つあげるシーンを考えます。
小学生なら、
5+3=8
で終わりですが、中学生は、さらに一回り難しい考え方を求められます。

それは、
「今つくった『言葉の式』に当てはめて、考えなさい」ということです。

そこで、中学生は、[じろうくんにあげたみかんの数]のところは、「あげた」の逆で、「もらった」わけなので、
逆を表す「-」をつければいいんじゃないか、と考えます。

よって、
5-(-3)=?　という式になります。

答えは8つですよね。

つまり、

5-(-3)=8という式は、
5+3=8　という式をわざと難しく考えて、
「たろうくんのみかんが減るはずだったが、『逆に』もらった」ということを表すために、
-(-○)
という書き方をしているのです。

いかがでしょうか。

ちなみに、この小学生バージョンから、中学生バージョンへの進化のようなことを、
「概念の拡張」（考え方を広げること、数の世界を広げること）といいます。

例えば、
整数しか知らない小学3年生から、「一の位の数の右下に小さな点をうつと、整数より細かい数字を表せる」ということを習った小学4年生も、
「整数だけの世界」から「小数も含む世界」へと、「数」の概念を拡張させていますよね。

算数・数学は、勉強していくと、こういう「概念の拡張」が、ずっと続きます。
概念を拡張することで、新しい世界を切り拓き、今まで分からなかった問題を解決していくのです。

お礼

ありがとうございます。
-(-○)は問題を別の方向から見るための考え方ということでしょうか。

回答No.1

papapa0427

というか、掛算なんですけどね。

－×－＝＋
－×＋＝－
という単純な掛算ですけど。
－（＋５）＝－×＋だから符合が－で＝－５です。
－（－５）＝－×－だから符号が＋で＝＋５です。

そんだけです。

お礼

ありがとうございます。
計算方法は知っているのですが、その奥にある意味を知りたかったのです。