３次方程式の解き方

質問

x^3+11×10^-2x^2-10^-14ｘ-10^-16=0
この方程式を解きたいのですが、解き方を調べてみたところ、p=1/a(c-b^2/3a) q=1/a(d-bc/3a+2b^3/27a^2)
これからｐ・ｑをだして t^2+qt-p^3/27=0
このｔの３乗根をAとして、B=-p/3AとしてA・Bを求める。そして、A+B-b/3a Aω+Bω^2-b/3a Aω^2+Bω-b/3a
ただし、ω=-1/2+√3i/2
この３つの式を解けばそれが解となる。と書いてあったんですが、この解き方で解けるんでしょうか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ご質問の式が今ひとつ分からない。というのは、係数の有効数字が１桁か2桁しかないのに、0次と1次の項は絶対値が非常に小さい係数を持っている。物理などの理論や実験で出て来た式だとすると、これは非常に不自然です。なので、実際の必要があって解きたい、という話にはどうも思えない。かと言って、数学の話だとすると、係数として具体的な数値を与えるのもちょっとおかしな話です。だからせいぜい、数値計算の演習ぐらいにしか出てこない問題という気がします。（もしそうならば、アルゴリズムを書いちゃわなければ、このサイトの規定には引っかからない、ということでしょう。）

　ともあれ
x^3+a x^2-bｘ-c=0
a=11/100
b=1/(10^14)
c=1/(10^16)
である。0次と1次の項は絶対値がすんげえ小さいですから、とりあえず無視してみると、
(x^2) (x+a) ≒ 0
より、
x ≒ 0, x ≒ -a
という近似解を得ますから、これらのすぐ近くに真の解があります。
　ところで、前置きの議論を書いたのは、数値解を出すときに、有効数字を何桁出せば良いかが問題になるからです。ご質問の方程式がもし実験や理論で出て来たものである場合、解の有効数字は1～2桁とするのが適切のように思われ、すると、1次と0次の項は無条件で無視できますから、「x ≒ 0, x ≒ -aが答」で十分だということになります。

　しかし、もっと正確な解を追求してみましょう。まず、x ≒ -aの近くの実数解をニュ－トン法で計算します。
x = ε-a
とおいて、最初の方程式に代入して
f(ε)=ε^3 - 2aε^2 + (a^2-b)ε + (ab-c) = 0
とします。εのn回目の近似値をε[n]とするとき、
ε[n+1] = ε[n] - f(ε[n])/f'(ε[n])
で改良します。ここにf'はfのεによる微分
f'(ε) = df/dε = 3ε^2 + 4aε + (a^2-b)
です。
ε[1]=0から出発すりゃ良いですね。
ε[2] = -f(0)/f'(0) = -(ab-c)/(a^2-b)≒-8.26/(10^14)
となって、これで実質的に収束です。これ以上繰り返しても、|ε|が小さいのでf(ε)が動きませんから。

　一方、x≒0の近くにあるほとんど重解になっている二つの解は、|x|が小さいのだから三次の項を無視した二次方程式で近似できます。
a x^2-bｘ-c≒0
とすると、近似解は
x[1] ≒ (b±√(b^2+4ac))/(2a)
となり、これらは実数解です。（4acに比べたら(b^2)≒0 なので、実際上、x[1] ≒ ±√(c/a)です。）
これらの解もニュ－トン法で
g(x) = x^3+a x^2-bｘ-c
g'(x) = 3x^2 + 2ax - b
として
x[n+1] = x[n] - g(x[n])/g'(x[n])
で改良できます。係数の大きさから見て、事実上x[2]で収束するでしょう。

お礼

私にとってはかなり難しかったです。ありがとうございました。

回答No.3

ojisan7

x^3+11×10^-2x^2-10^-14ｘ-10^-16=0
この方程式の根をカルダノの公式で求めるのは、やめておいた方がよいでしょう。実際、計算しようとしてみても、途中で投げ出すことになるでしょう。カルダノの公式については他のサイトで調べていただくことにして、この公式を使って、簡単な整数係数の３次方程式を実際に解いてみてください（x^2の項を落とした、３次方程式の方が計算が簡単ですね。）。３実根をもつ方程式を解くのにも虚数を使わなければならないこと（「還元不能の場合」といいます）などもご自分で体験できるんではないかと思います。

お礼

ありがとうございました。

補足

一度この公式を使って解こうと思ったんですが、これは無理だと思い、解くのをやめました。この式を解くのに適した公式はありますか？

回答No.2

whitedingo

式がいまいち理解できません。

お礼

なんとか解決することができました。

補足

式が理解できないとはどういうことでしょうか？どう理解できないのかを教えてください。

回答No.1

kabaokaba

式の詳細は記憶してませんが
三次方程式は解の公式が存在しており
その解法は，質問の中にあるようにします
ただし，

t^2+qt-p^3/27=0

ではなく

t^3+qt-p^3/27=0

でしょう．

この方法でとけることはとけるのですが
結果は利用不可能なくらいに
複雑な式になることがほとんどです．
幸運にも簡単な値に整理できるならば
それは解の公式を使わないでも
解く方法があるということでしょう．

一般的には，この公式は使わずに
数値計算的に処理します．
つまり近似値です．

お礼

ありがとうございました。