距離空間におけるコンパクト性
距離空間において、コンパクト集合と点列コンパクト集合が同値であることの証明をできるだけ理解したいのですが、参考書のの証明がイマイチ理解できません。
(参考書の証明)
(1)
コンパクト距離空間Xの任意の点列{x_n}n=1,2,…が収束部分列をもつことを示す。
この点列に対して、A_k={x_k,x_k+1,…}とおき、その閉包(A_k)'全体のなす集合族{(A_k)'}を考える。
{(A_k)'}の各元(A_k)'は空でない閉集合で、単調減少(A_1)'⊃(A_2)'⊃…(A_k)'⊃…であるから有限交叉性をもつ。したがって、Xのコンパクト性より共通部分(A_k)'は空でない。共通部分(A_k)'から1点xを選べば、xは(A_1)'に属するからd(x_(n_k),x)≦1/kなるx_(n_k)∈A_kが存在する。このとき、n_k≧kより数列{n_k}は異なる自数数を無限個含むから、{x_(n_k)}は{x_n}の部分列であり、また明らかにxに収束する。よって、点列{x_n}は収束部分列をもつ。
(2)
距離空間Xが点列コンパクトであると仮定し、Xの任意の開被覆{V_λ}が有限部分被覆をもつことを言う。最初に、{V_λ}に対して、ε>0が存在して、任意のx∈Xのε近傍U(x;ε)が{V_λ}のどれかの元V_λに含まれることを示す。このようなεを開被覆{V_λ}のルベーグ数とよぶ。ルベーグ数が存在しないならば、各kに対し、その1/k近傍がどの{V_λ}の元にも含まれないような点x_k∈Xをとることができる。こうして得られた点列{x_k}は、Xの点列コンパクト性より収束部分列をもつ。その極限をx_∞とおくと、{V_λ}はXの被覆であるから適当なV_λ∈{V_λ}がx_∞を含む。V_λは開集合であるから、μ>0が存在してU(x_∞;μ)⊂V_λ。十分大きいk'をとれば、1/k'<μ/2とd(x_k'、x_∞;μ)<μ/2とが同時に成り立つが、このときU(x_k';1/k')⊂U(x_∞;μ)⊂V_λとなって点列{x_k}のとりかたに矛盾する。すなわちルベーグ数の存在が示さfれた。さて開被覆{V_λ}が有限部分被覆を持たないとして矛盾を導く。{V_λ}に対するルベーグ数をεとし、これを用いてXの点列{x_n}を以下のように構成する。まず任意のx_1∈Xを選ぶ。このとき、U(x_1;ε)を含むV_(λ1)∈{V_λ}が存在する。もし、X-V_(λ1)が空ならばXがV_(λ1)だけで覆われるからX-V_(λ1)≠φであり、点x_2∈、X-V_(λ1)を選ぶ事ができる。同様にU(x_2;ε)を含むV_(λ2)∈{V_λ}が存在するが、X-(V_(λ1)またはV_(λ2))はやはり空でない。よって、x_3∈X-(V_(λ1)またはV_(λ2))を選ぶ事ができる。この操作を繰りかえして得られた点列{x_n}はn>mに対してx_nはU(x_m;ε)に含まれない、すなわちd(x_n、x_m)≧εを満たすから収束部分列を含みえない。これはXが点列コンパクトであることに反し、矛盾が生じた。
(証明終わり)
まず有限交叉性の全く意味がわかりません。
私は、点列コンパクトとコンパクトの定義を以下のように学習しています。
X:集合、P:開集合族
(X、P):位相空間
K⊂Xがコンパクト
⇔{U_λ}⊂Pかつ和集合U_λ⊃K(λ∈Λ)、この時、和集合U_(λ_k)⊃K(k=1→n)となるようなλ_1、…、λ_n∈Λが存在する。
K⊂Xが点列コンパクト
⇔K内の任意の無限点列{x_n}(n=1、2、…)がKの点に収束する部分列を持つ。
なるべく定義に従って、証明していきたいです。
どなたか、詳しく証明を解説してほしいです。
回答よろしくお願いします。
お礼
ご回答、ありがとうございます。 その道に詳しい方からのアドバイス、大変助かります。 上記の資料を見てみたいと思います。 ありがとうございました!