微分積分の応用問題です。

質問

途中まで解きましたが詰まってしまいました。
解き方を教えて下さい。

平面上の東向きに第1軸、南向きに第2軸、上向きに第3軸を取り、i軸に沿う辺の長さがxiの直方体状のビルを考える。i軸に直交する2つの面を単位時間あたりに貫き移動する熱量の平均値を壁の単位面積あたりuiとする。(i=1,2,3)
1)単位時間あたりのビルな以外の熱貫流量(6つの壁面を貫き移動する熱量の総和)をQとしてこれを求めよ。
2)ビル体積をVとし、Qを最小にするxiの解xi*を求めよ。
3)ビルの窓は北面と南面にのみ存在するとする。これら2面については前出のu2がu2'=ku2(ただし0<k<1)とする。この時もQを最小化すると、南面及び北面の面積は2)の時の何倍になるか求めよ。

答え
1)Q=2(x1x2u3+x2x3u1+x3x1u2)
2)V=x1x2x3より、Q=2V(U1/x1+u2/x2+u3/x3)
これをx1,x2,x3について微分し、一階条件=0とするとu1/x1^2=u2/x2^2=u3/x3^2
x1=x2√u1/u2=x3√u1/u3

よろしくお願いします。

回答No.2

spring135

x2=xで表すと

du/dx=ku

du/u=kdx

logu=kx+c’

u=cexp(kx)

q=(2V/x2)u=2Vc(exp(kx)/x)

dq/dx=2Vc(k exp(kx)x-exp(kx))/x^2=0

x=1/k

要するに1/k倍

回答No.1

Tacosan

なにをどう「よろしくお願い」しているのか知らんが.

まあ 1 ができないということはどう考えてもありえないはずなので 2 に関するなにかなんだろうが, このままでは条件が足りないのでなんともならない. u1, u2, u3 が定数か変数かで問題が変わっちゃうし, 定数だろうと変数だろうとほかに条件がなければ
x1* = x2* = x3* = 0
という自明 (かつ無意味) な答になることが容易に想像できる.

突然 V なんてものが出てくることから超能力 (笑) をはたらかせて「V が一定のとき」という条件を付けるとすると.... わざわざ微分なんて面倒くさいことはやりたくない.