平均値で求めた標準偏差と最小二乗法で求めた標準偏差

質問

10個のデータの平均値から求めた標準偏差と、グラフを用いた最小二乗法から求めた標準偏差の2パターンで対象の不確かさを求めたのですが、求めた2つの値は大きく異なりました。
この2つの値の違いの原因は何なのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

こういうことですね

レンズの結像公式 1/a + 1/b = 1/f
倍率 m = b/a

b = maなので

1/a + 1/b = 1/a + 1/ma = (1/a)(1+1/m) = 1/f
a = (1+1/m)f = f + f(1/m)

これだけの情報ではなんとも言えませんが，一つ気になるのが

＞y = a + bx

と書いたときのaとbが独立ではないので，本来，

a = (1+1/m)f

を元に1+1/mをxとして

y = ax

の形の最小二乗法をやるべきでは？どのくらい影響するのかわかりませんが。

次に，y=a+bxという式の最小二乗法による係数bの誤差Δbは，yの読み取り誤差をΔとして

Δb = √[ n / {Σxi^2 - (Σxi)^2 } ] Δ

「平均値・・・」の方の焦点距離の読み取り誤差もΔ程度であれば，
双方の誤差は

√[ n / {Σxi^2 - (Σxi)^2 } ]

だけ異なる。

それから，単純な間違いの可能性としては，「平均値・・・」のほうが

＞標準偏差 ＝ √Σ(焦点距離の残差)^2/n(n-1)　

と，平均値の標準偏差を使っているのに対して，「最小二乗法」で計算しているのが測定値の標準偏差で√nで割っていない。

あとは，一番ありそうなのが，二つの方法で直接測っている物理量が異なるので，その物理量(レンズと焦点の距離，および，像の大きさ？)の読み取り精度(上のΔ)がそもそも大きく違うということでしょうか。

回答No.1

hitokotonusi

本来比較できそうにない二つの量ですが、何をどう計算したのでしょう？

補足

求めた量は組み合わせレンズの焦点距離です。

まず1つ目は、平均値から求めるやり方です。
使った式は　

標準偏差 ＝ √Σ(焦点距離の残差)^2/n(n-1)　

です。
よって焦点距離は　平均値 + 求めた標準偏差　となります。

2つ目は縦軸にレンズの表面から物体までの距離、横軸にレンズの倍率の逆数1/mとしてそのグラフを描き、
直線 y = a + bx　として最小二乗法でその傾き（焦点距離f）を求めるというやり方です。

この2パターンで焦点距離を求めた結果、値が大きく異なりました。