平均偏差MDと標準偏差SDの理想と現実

質問

平均値からの「偏差の絶対値の総和」を平均偏差
平均値からの「偏差の2乗和」を標準偏差と定義します。

この「偏差の2乗和」を最小にする定数は平均値で、
「偏差の絶対値の総和」を最小にする定数は中央値です。

まず一つ、このことを感覚的に理解できるのですが、証明することが出来ません。
どなたか出来る方はいらっしゃいますか？
そして、
正規分布では中心に平均値がくるいう前提よりも、
中心に中央値がくるという前提の方が、正しいと思います。
度数的に中央に来るべきは平均値ではないからです。

たしかに、正規分布は理想の分布であり、平均値=中央値が前提ですが、
実際の有限サンプルを元に検定する際に、
その平均を中心に持っていくよりも、中央値を中心に持っていき、
標準偏差SDではなく、平均偏差MDを使用した方が、より理想的になると感じます。

この考えは間違っているでしょうか。

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

(1)二乗和の方は、Ｓ＝Σ（xi-k)^2（i＝１～ｎ）として、ｋで偏微分して、∂Ｓ/∂ｋ＝－Σ２（xi-k）＝０でΣxi＝Σｋなのでｋ＝Σxi/nとなり、平均値が最小の条件です。(2)絶対値の和の方は、Ｓ＝Σ｜xi-k|ですが、ここで、xt<=k<=x(t+1)とすると、Ｓ＝（２t-n)k-Σxi(i=1～t)+Σxi(=t+1～ｎ）で、ｋで偏微分して、∂Ｓ/∂ｋ＝２t-n＝０でt=n/２なので中央値が最小の条件に成ります。

お礼

有難うございます。
同じようなところまでは考えられたのですが、
（質問してからもずっと考えてました）
（２）絶対値編で、偏微分する際に、
t（正確にはXt）を定数のように扱ってますが、
これは、kの動きによって変化するので、
tをkで表す必要があるように感じました。
Xt<=k<=X(t+1)なので、
XiをN次変数だと仮定し、積分するといった動作が必要な気がするのですが。。。
定数と置いていいものでしょうか。
ご返答有難うございます。

補足

tをkの関数で表さねばならないという考えは誤りでしょうか？

回答No.2

takedakesii

私も以前、同じような悩みを持ったことがあります。
当時、学生で、教授に聞いたりもしたものですが、
初めに使った人がそうであったから、という答えでした。
ですが、No１さんの回答が正解だとすれば、
理論的にSDを使わなければならないということになりますよね。
偏微分をする際に、下で言うkの値とtの値を考慮しなければならないとしても、
xの変動そのものがN次式だとは限らないわけですし、
お二人ともアプローチはいいのでしょうが、どこか違っている気がします。
かといって、どうすればいいかはわかりません。（すみません）
非常に気になります。。。

お礼

有難うございます。
もう少し、回答頂けるのを待とうかと思います。
出版されている教科書等も読んで見たのですが、
やはり、視点が少しずれているためか、これといった解答が見当たりません。