統計学で互いに関係のある文字だらけの式整理のコツ?

質問

画像のように最小にじょうほうでのTSS＝RSS+ESSを示したく、それにはTSSを変形したとき現れる二重下線部がゼロとなることを示せばいいとわかったのですが、これには互いに関係のある項(塊?)がいくつかあります(ここでa、bは最小二乗推定量)
例えばyの推定値yハットは画像の右側の式から、和を取るとaとbとnとxバーの式になると思います。

数学が苦手なので良く分からないのですが、多分文字を減らすと整理しやすいだろうという考えからyハットとyバーを消去してみることとしました。なぜその二つかというと、なんとなく(思考力不足で問題点)ですが、とりあえずカッコ8まで進みました。

ここまでいくとyハットとyバーがないのでまたどれかを消す(分解する？)ことを考えて
Σxyをけすことにしました
すると画像のようにうまく行きました

ですが式変形の妥当性というか必然性、効率性に自信が持てません
以上のような考えで式変形するのは方針として正しいのでしょうか?それともたまたま試行錯誤の末示せただけでしょうか?どのように考えるのがいいでしようか???
ただしこれは残差の和がゼロになるとかxと残差の積和がゼロといったことに気づかなかったという前提です。(そこからして賢くないですけど)

回答No.1

noname#227064

> ただしこれは残差の和がゼロになるとかxと残差の積和がゼロといったことに気づかなかったという前提です。

その前提なら、添付された方法で十分でしょう。
試行錯誤の末だったとしても、示したいこと示すことができているのですから、自信を持っていいです。

効率という点でしたら、残差の和がゼロになることがわかっていれば、それがうまく使えることを期待して、x_i　-　xbar、y_i　-　ybarでくくる方が良いかと思います。
（分散とか共分散等の計算でも使いますしね）
ご質問の例なら、

(3) = aΣ{y_i - ybar - a(x_i - xbar) + ybar - a xbar - b}(x_i - xbar)
= aΣ{y_i - ybar - a(x_i - xbar)}(x_i - xbar)
= aΣ{(y_i - ybar)(x_i - xbar) - a(x_i - xbar)^2}
= a{(Σy_i^2 - n ybar^2) - a(Σx_i^2 - n xbar^2)}
= 0

とでも変形するのはどうでしょうか。