幾何と代数は同じ数学でしょうか

質問

デカルトが両者の間を結びつけたと聞きました。私はどちらも苦手ですが、どちらかというと幾何のほうに親しみを感じます。もちろん中学校で習う程度のはなしですが、代数のほうは微分積分、複素数など高度になっていくようですが、中学の幾何にはそういう発展がみられないので、数学にはあこがれしかありません。幾何と代数は同じ数学なのでしょうか。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

「代数幾何」ってのは昔の教育課程の「代数幾何」とは違います
現代数学で言うところでの「代数幾何」ってのは
「algebraic geometry」直訳すれば「代数的な幾何」
教育課程のは「algebra and geometry」いわば「代数と幾何」という感じだったものです

閑話休題

まず。。。現代数学において「幾何」とは何かと問われれば
まずはクラインの「エルランゲン・プログラム」にそって
「対象と対象間の関係において
変換によって普遍なものを研究する」
ものを幾何というような意味の返答が妥当ではないかと思います．

この観点では・・例えばユークリッド幾何なんかは

座標平面上の「図形」を対象として
合同変換・相似変換によって相互に移りあう関係において
これらの変換によって普遍な
「長さ（の比）」「面積（の比）」「角度」
を研究するもの

という捉え方ができるのでしょう．

この「普遍なもの」という観点でみると
数学のかなーり大部分のものが「幾何」的側面をもったりします．

で，代数ってのは，数学そのものの「言葉」という側面があります．
普遍なものを追及する際に，それを表現するための言葉が必要で
代数はそのときの言葉の役目を担うことが多いです．

たとえば・・・図形（多様体）の特徴（普遍な部分）を現すのに
ホモロジー・ホモトピー，基本群というのがありますが
これらそのものは群という代数の対象であり
これらを計算する手法もホモロジー代数というようなもの
だったりします．

話がややこしいことに，いわゆる代数の中にも「普遍性」という意味で
幾何的なものがしっかり存在します．

実は「代数解析」なんて分野もあったりして，
これはきわめて幾何的な手法（ホモロジー代数的手法や圏論の手法）で
偏微分方程式とかを相手にします．

お礼

大切なのは用語の意味ではなく数学というものの体系というか成り立ち方なのでしょうか。代数と幾何という二極ではなく第３、第４の存在はないのでしょうか。ご教示感謝いたします。

回答No.3

itshowsun

最近数学を再び勉強し直しています。
数学というのは何であるか、簡単な疑問ほど難しいとつくづく感じます。
この質問も数学の本質を突いているのかしれませんね。
幾何学を紙の上に描かれた点と線の図形の性質を研究する学問であると考えれば、
代数学などの数学とは違うものになると思います。
ところが、実際にギリシャから伝わった幾何学は、
ユークリッドの著書「原論」によるものです。
そこでは、点と線という概念が与えられ、その点と線が満たすべき公理が与えられたとき、
この公理を満たす点と線の体系の性質を研究する学問として幾何学が定義されています。
（と学びました。）
一方、数を用いた算術は、点と線の代わりに数と記号と演算という概念を与え、
これらが満たすべき公理を与えたとき、
これらの公理を満たす体系の性質を研究する学問として代数学が誕生したと思います。
つまり、ユークリッドの原論の考え方で、現代の数学が構築されたのです。
現在の数学の考え方で幾何学を見ると、
メタ数学で与えられた「点」と「線」という概念は紙に描かれた点や線でなくともかまいません。
重要なのは、満たすべき公理系とそれらから生まれる結論いうことになります。
今勉強している圏論では、与えられる概念は「点」（オブジェクト）と「矢印」（写像、射）です。
これから作られる図を「図式」と言います。
今までの数学が数式を扱う学問だとすると、圏論によって再構築される数学は図式を扱います。
よって数学は将来、図式を扱う「図学」という学問に名前を改めるかもしれません。
そのとき、学生は「数式を扱う数学と図式を扱う図学は同じ図学なのでしょうか？」
と質問するかも知れませんね。

お礼

聞きかじりの双対性を連想させるご説明と、おこがましくも思いました。個人的には、とにかく少しでも理解できそうなところから勉強していく以外ないと思いますが、大変為になるお話でした。

回答No.2

corpus

代数幾何学っていうのがありますからね。

補足

代数幾何学という言葉があるというのは、代数と幾何が同じではないということを意味しているのでしょうか。

回答No.1

hirona

私は、幾何と代数は、関係があると思います。そういう意味では、同じ数学だと思います。

幾何学も、円周率やピタゴラスの定理など、計算が大きく関係するものもあります。
三角関数なんて物が出てくると、関数である以上は代数学っぽいですが、その根拠となる物というか基礎となるのは「三角比」（サイン、コサイン、タンジェント）、つまり図形が出てきます。

素人の独り言でした。

お礼

おっしゃる通りです。幾何の論理と代数の論理が重なるというか同一であるというのが何となく納得できないので困ります。デカルト先生の座標の概念が悪夢の始まり（？）のようにも思います。もっとも微分幾何などという、そのものずばり（内容の理解からではなく単なる言葉の上からのものです）の領域もあるということですから代数も幾何も全く同じものなのだろうと想像しています。