異なる２つの無理数の積について

質問

「異なる２つの無理数の積は無理数である。」という命題の真偽について教えてください。
　また、その理由も出来れば教えていただければありがたいです。
　試験の過去問で出題されてるんですが、どうしてもわかりませんTT
　感覚的には「真」かな？って思ってるんですが。。。
(偽の場合には反例をあげよとありますが、反例も思いつきませんTT)
　よろしくお願いいたします。

回答No.1

ranx · ベストアンサー

偽です。
√２と２√２は異なる二つの無理数ですが
√２×２√２＝４は有理数です。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
異なる無理数ってことで、√ａ×√ｂっていうのばかり考えてました。
√ａ×ｂ√ａも有効なんですね^^
頭が固い証拠ですねＴＴ
ありがとうございました。

回答No.14

arukamun

なんか、盛り上がってきましたね。

現在、
ａ、ｂは互いに素　（この時点でａ、ｂは自然数といっている）
√ａ、√ｂは無理数とした時、
√ａ×√ｂは無理数である。は真。

じゃあ、
ａ１、ａ２、ｂ１、ｂ２は自然数、
√（ａ１／ａ２）、√（ｂ１／ｂ２）は無理数とした時、
√（ａ１／ａ２）×√（ｂ１／ｂ２）は無理数。

の真偽ですが、これは明らかに偽ですよね。

お礼

いろいろと皆さん、ありがとうございました。
また、分からないことがあれば、お尋ねするかもしれませんが、よろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。

回答No.13

KENZOU

＃11のKENZOUです。＃12のhinebotさんのご説明で完璧と思います。よく読まないとこのようなことに、、、(反省^^;）大変失礼しました。それにしてもこのテーマはホットですね。

お礼

皆さん、いろいろとありがとうございました。
このテーマがホットって意味がよく分かりませんが、まだまだ勉強不足だということが身にしみて分かりましたTT
15年以上勉学から離れてたので、これからがんばって生きたいと思います。
どうもありがとうございました。

回答No.12

hinebot

一応指摘を受けましたので。

>a=1,b=4とした場合、√a×√b＝2となって、この場合は整数となりますね。

「√a,√bが無理数である」としてますので、この条件で、a=1,b=4は弾かれます。というか#10の(1)の説明でa,bのどちらかが1の場合も満足していると思いますが…。

回答No.11

KENZOU

横合いからなんなんですが、＃８のhinebotさんの回答で
＞ａ，ｂは互いに素
の条件だけでは少しゆるいのではと思いますが。１とその他の整数は必ず互いに素である、ということからするとa=1,b=4とした場合、√a×√b＝2となって、この場合は整数となりますね。したがって、条件としては
「ａあるいはｂいずれかが１でない互いに素な数値」とすべきではないかと、、、尤も、そんなことは既にうたってあるということであれば私の読み落しですからご容赦ください。

回答No.10

hinebot

#8です。

自分で読み直してみると、ちょっと分かりにくいみたいなので、
-----------------------------------------------
mは整数なので、√(ab) が整数にならなければならない。
しかし、√(ab)が整数とすると、「a,b が互いに素である」ことか、「√a,√bが無理数である」ことのどちらかに必ず反する。
（「a,b が互いに素である」とすると「√a,√bが無理数である」ことに反し、「√a,√bが無理数である」とすると「a,b が互いに素である」ことに反する。つまり、両方同時には成り立たない。）
-----------------------------------------------
の部分について、補足。

√(ab)が整数であるとする。

(1) 「a,b が互いに素である」とき
ab=t^2 となる整数tが存在するには、整数p,q(p,qは互いに素）があって
a=p^2,b=q^2と表せる必要がある。
すると、√a=p,√b=q となり、「√a,√bが無理数である」ことに反する

(2)「√a,√bが無理数である」とき
ab=t^2 となる整数tが存在するには、abを素因数分解したときに（素数）^2 の積の形にならなければならない。
（素数）^2 の積の形である数をa,b 二つの数に分解したとき、どのように分けてもaとbに必ず共通な素因数が存在するため、「a,bが互いに素である」ことに反する。（互いに素になるように分けることはできない。）

これでＯＫかな。

回答No.9

arukamun

＞ａ，ｂは互いに素。
＞√ａ，√ｂは無理数。
＞とした時、
＞√ａ×√ｂは無理数である。
＞の命題の真偽ですね。
自分でNo.2で分母分子が整数で表せるうんぬんいっていたのにぼけてましたね。

回答No.8

hinebot

#7さんへ

積に分解するのは、証明として無理があるように思うのですが。

-----------------------------------------------
ａ，ｂは互いに素。
√ａ，√ｂは無理数で、c=√ａ×√ｂ=√(ab) が有理数だと仮定する。
有理数なので、m,nを互いに素である整数(n≠0)として c=m/n と表せる
c=m/n =√(ab)　より　m = n√(ab)
mは整数なので、√(ab) が整数にならなければならない。
しかし、√(ab)が整数とすると、「a,b が互いに素である」ことか、「√a,√bが無理数である」ことのどちらかに必ず反する。
（「a,b が互いに素である」とすると「√a,√bが無理数である」ことに反し、「√a,√bが無理数である」とすると「a,b が互いに素である」ことに反する。つまり、両方同時には成り立たない。）

よって、背理法により√ａ×√ｂは無理数
-----------------------------------------------
これでどうでしょうか？

回答No.7

arukamun

ａ，ｂは互いに素。
√ａ，√ｂは無理数。
とした時、
√ａ×√ｂは無理数である。
の命題の真偽ですね。

これなら真だと思います。

ｃ＝√ａ×√ｂ
ｃは有理数と仮定して、
ｃ＾２＝ａ×ｂ
ｃ＝ｄ×ｅ
ｄ，ｅも有理数
とすると、
ｄ＾２×ｅ＾２＝ａ×ｂ
よって、
ａ＝ｄ＾２，ｂ＝ｅ＾２　・・・(1)
または、
ａ＝ｅ＾２，ｂ＝ｄ＾２　・・・(2)
または、
ａ＝ｂ＝ｄ×ｅ　・・・(3)

(1)は、√ａ＝ｄや√ｂ＝ｅの為、
(2)は、√ａ＝ｅや√ｂ＝ｄの為、
それぞれ√ａ、√ｂ共に無理数では無い。
(3)は、ａ＝ｂの為、互いに素に反する。

背理法により、√ａ×√ｂは無理数

で証明できてるかなぁ。

回答No.6

eatern27

#5です。
すいません。訂正です。

＞例えば、a=18,b=30とかですね。
a＝18,b＝50
でした。

ついでなので、一応書きますが、
＞a=n^2*k,b=m^2*k、(kは平方数でない自然数)という形であれば満たします。
の部分で、n,mは自然数です。
bがaの整数倍でないという条件が必要なら、mがnの整数倍でないとすればいいですが、わざわざつける必要はないでしょう。

あと、#5の最後の行は、なかったことにしてください。

補足

私の追加の説明が不十分でした。
ｂがａの整数倍ではないって言う必要条件では、そのとおりですね。
たびたびすみませんが、
ａ＝ｎ√ｋ、ｂ＝ｍ√ｋ（ｎ，ｍは自然数、ｋは平方根でない自然数）の形で表せない場合は、どうなるんでしょうか？
eatern27さんの事例(反例）のまさしく反対の場合の想定ですが、気になってしまいました。よろしくお願いいたします。

回答No.5

eatern27

#2さんへの補足への回答

＞√ａ×√ｂ　（ただし、ａ＞０の整数、ｂ＞０の整数でａ＝ｂではなく、かつ、ｂはａの整数倍でない。）

こういうのも、いくらでもあります。例えば、a=18,b=30とかですね。

a=n^2*k,b=m^2*k、(kは平方数でない自然数)という形で、あれば満たします。

これとは関係ないですが、pを無理数とすれば、
p≠1/pで、p*(1/p)=1なので、
pと1/pの組も反例のひとつですね。

√50×√18＝30で、