異なる２つの無理数の積について

質問

「異なる２つの無理数の積は無理数である。」という命題の真偽について教えてください。
　また、その理由も出来れば教えていただければありがたいです。
　試験の過去問で出題されてるんですが、どうしてもわかりませんTT
　感覚的には「真」かな？って思ってるんですが。。。
(偽の場合には反例をあげよとありますが、反例も思いつきませんTT)
　よろしくお願いいたします。

回答No.1

ranx · ベストアンサー

偽です。
√２と２√２は異なる二つの無理数ですが
√２×２√２＝４は有理数です。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
異なる無理数ってことで、√ａ×√ｂっていうのばかり考えてました。
√ａ×ｂ√ａも有効なんですね^^
頭が固い証拠ですねＴＴ
ありがとうございました。

回答No.4

wolv

No3の補足への回答：
x^2+ax+b=0の二つの解がα、βの時、
α+β=-a, αβ=b
になります。
a,bが有理数でも、解が無理数になることがあるので、
二つの無理数の積αβが有理数bになることはあります。

お礼

なるほど。そうですね^^
親切にありがとうございました。
勉強になりました。

回答No.3

waseda2003

例えば，aとbが整数や有理数でも，xの２次方程式
x^2+ax+b=0の２解が無理数となる例を思い起こせば，
「偽」であることはピンときますね。
反例としては，1±√2 など多数考えられます。

真偽の判定や必要・十分の判定の問題では，
当て物のようにとらえるのではなく，
普段勉強していることの（論理の）積み重ね
と考えるとわかりやすい（解きやすい）と思います。

補足

ｘの２次方程式のところがピンときませんＴＴごめんなさいです＞＜
ａ＝２、ｂ＝１としたらx^2+2ｘ+1=0　(x+1)^2=0　
∴x=-1ですよね？なのに無理数？？？？
ごめんなさい。ピンときませんTT
　もしよかったら、詳しく教えてください。

（１＋√２）×（１－√２）＝１－２＝－１だから偽というのは分かります^^
ありがとうございました。

回答No.2

arukamun

簡単に有理数、無理数をおさらいしましょう。

有理数：分母分子を整数で表せる数
無理数：分母分子を整数で表せない数

ですね。

答は偽で、例えば、√２と２√２なら異なる無理数ですよね。
かければ、４になって有理数です。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
追加で質問なんですが、同じく無理数で
√ａ×√ｂ　（ただし、ａ＞０の整数、ｂ＞０の整数でａ＝ｂではなく、かつ、ｂはａの整数倍でない。）
（（つまり√２×√８＝√２×２√２＝４みたいなのではなく√２×√３のような形））

の積で有理数になるのでしょうか？
たびたびすみませんがよろしくお願いいたします。