四面体の頂点に集まる角

質問

四面体の頂点の一つをとった時、その一点に接する三面の頂角に何か法則性はありますか?

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ひとつの角だけ取り出したら、もう、
四面体とは関係ありませんね。

「ふたつの角の和は他の角より大きい」
ぐらいかなあ…

お礼

正にその回答を求めていました。
それは「常識」の範囲内なのでしょうか?
何の説明もなく使っている問題があったため、色々調べては見つからず悩んでいました。

回答No.3

noname#199771

計算してみたところ、四面体の頂点をA,B,C,Dで表したとき、

(sin∠DAC)(sin∠CBA)(sin∠BDC)=(sin∠CDA)(sin∠BAC)(sin∠DBC)
(sin∠DCA)(sin∠CBA)(sin∠BDA)=(sin∠CDA)(sin∠BCA)(sin∠DBA)
(sin∠DCB)(sin∠CAB)(sin∠ADB)=(sin∠CDB)(sin∠BCA)(sin∠DAB)

という関係がでてきました。

計算過程を全部書くと長くなるので省略しますが、4つの三角形それぞれ
について正弦定理を適用すると8本の方程式が得られます。辺の長さに
ついての変数が綺麗に消えてくれて上の3つの式がでてきます。

お礼

計算ありがとうございます。
これは知らなかったです。何かに使えそうですね。

回答No.2

torus

立体角のことを言っているのかな、と思いました。
立体角については、英語版の wikipedia の図を見るとわかりやすいです。
http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle

正四面体の場合は、これもやはり英語版のWikipediaからですが、arccos(23/27) であることが知られているようです。
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

ちなみに、正四面体を20個集めても、ピッタリ正20面体にはなりません。
それは、この立体角が球の表面積の20分の1とは異なる値であることからもわかります。

お礼

ありがとうございます。時間がある時に読んでみます:)