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四面体の頂点に集まる角
四面体の頂点の一つをとった時、その一点に接する三面の頂角に何か法則性はありますか?
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ひとつの角だけ取り出したら、もう、 四面体とは関係ありませんね。 「ふたつの角の和は他の角より大きい」 ぐらいかなあ…
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計算してみたところ、四面体の頂点をA,B,C,Dで表したとき、 (sin∠DAC)(sin∠CBA)(sin∠BDC)=(sin∠CDA)(sin∠BAC)(sin∠DBC) (sin∠DCA)(sin∠CBA)(sin∠BDA)=(sin∠CDA)(sin∠BCA)(sin∠DBA) (sin∠DCB)(sin∠CAB)(sin∠ADB)=(sin∠CDB)(sin∠BCA)(sin∠DAB) という関係がでてきました。 計算過程を全部書くと長くなるので省略しますが、4つの三角形それぞれ について正弦定理を適用すると8本の方程式が得られます。辺の長さに ついての変数が綺麗に消えてくれて上の3つの式がでてきます。
お礼
計算ありがとうございます。 これは知らなかったです。何かに使えそうですね。
- torus
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立体角のことを言っているのかな、と思いました。 立体角については、英語版の wikipedia の図を見るとわかりやすいです。 http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle 正四面体の場合は、これもやはり英語版のWikipediaからですが、arccos(23/27) であることが知られているようです。 http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron ちなみに、正四面体を20個集めても、ピッタリ正20面体にはなりません。 それは、この立体角が球の表面積の20分の1とは異なる値であることからもわかります。
お礼
ありがとうございます。時間がある時に読んでみます:)
お礼
正にその回答を求めていました。 それは「常識」の範囲内なのでしょうか? 何の説明もなく使っている問題があったため、色々調べては見つからず悩んでいました。