※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：微分と不等式の証明）
微分と不等式の証明
a>0,b>0,c>0とする。
(1)f(x)=x^3-3abx+a^3+b^3のx>0における増減を調べ、極値をもとめよ。
(2)(1)の結果を利用して、a^3+b^3+c^3≧3abcが成り立つことを示せ。また、等号が成立するのはa=b=cのときに限ることを示せ。
という問題の(2)の後半がわかりません。
(1) f'(x)=3(x^2-ab) ab>0 だから、f'(x)=0とすると、x=±√abゆえにx>0において、0<x≦√abのとき単調に減少、√ab≦xのとき単調に増加、x=√abのとき極小値
f(√ab)=a^3-2ab√ab+b^3=(√a^3)^2-2√a^3b^3+(√b3)^2=(√a^3-√b3)^2をとる。
(2) (1)の極小値は、ｘ＞0におけるf(x)の最小値であり、(√a^3-√b3)^2≧0よって、
ｘ＞0のとき、f(x)≧０したがって、ｘ＞0のとき、x^3-3abx+a^3+b^3≧0すなわち
x^3+a^3+b^3≧3abx c>0であるから、x=cとおくと a^3+b^3+c^3≧3abcが成り立つ。また等号成立は、c=√abかつ³√a-³√b＝0(aの３乗根とbの３乗根が等しい。)のとき、と書いてあったのですが、
c=√abかつ√a^3=√b^3だと自分は思いました。a^3/2-b^3/2=0より
(a^1/2-b^1/2)(a+√ab+b)=0 (a^1/2-b^1/2)=0より、a>0,b>0なので√a=√ｂ、c=√abに代入して、√a^2=c a>0よりa=c a>0,b>0なので、√a=√ｂの両辺を2乗して、a=ｂ
よってa=b=c
自分の考えに間違いがあったり、また等号成立は、c=√abかつ³√a-³√b=0(aの３乗根とbの３乗根が等しい。)のとき、が正しいときは、ご指導をお願いします。
お礼
お返事ありがとうございます。