電荷が無限に長い直線状導線に電荷密度σ

質問

電荷が無限に長い直線状導線に電荷密度σで分布しているものとする。
(1)導線の長さLの中に存在する電荷の総量はいくらか。
(2)長さLの導線の中に存在する電荷から出る電気力線の本数はいくらか。
(3)導線から電気力線が一様対象に出ているものとして、導線からｄの距離にある点の電界の大きさを求めよ。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3813221.html

この問題の類題として、無限に長いではなく距離Lの導線の場合、の問題に遭遇しました。

(2)までは同じように解けると思うのですが、(3)も同様に２πｄLで割るだけで良いのですか？

なんとなく電気力線が端から違う方向へ出ていきそうなのですが。

お願いします。

回答No.3

Quarks · ベストアンサー

ANo.2 です。数式の訂正をします。導線の長さの評価を間違えてました。

修正をしながら、積分の方法も書いておきます。
添付図のように、導線の中心を原点に、導線の長さ方向にｚ軸、導線に垂直な方向にｒ軸を取ってみます。いま、ｒ＝ｄ　の点Ｐを考え、Ｐ点での電場Ｅを計算します。
導線の、ｚ座標＝ｚ　の地点Ａに、長さ dz の微小部分を考えます。ここの電荷ｄｑは
ｄｑ＝ρ・dz
です。

これがＰの地点に作る電場ｄＥは

ｄE=ｋ(ρ・dz)/(r^2+z^2)

導線の全ての長さに渡って足し合わせると、ｄＥのｚ方向成分は、(対称性から)打ち消されることが明らかなので、実質的に寄与する量は　ｒ方向成分ｄＥｒだけになって
dEr=dE・cosθ=dE・(r/√(r^2＋z^2))
です。

これを　z=-L/2～L/2　までの範囲で積分します。

E=∫[-L/2..L/2]　(ｋ(ρ・dz)/(r^2+z^2))・(r/√(r^2＋z^2))
=2kρ∫[0..L/2]r/((r^2+z^2)^(3/2))・dz
=kρL・(1/(r・√(r^2＋(L/2)^2))

求める電場は、ｒ＝ｄの地点での電場ですから、ｒをｄに書き戻して

E=kρL・(1/(d・√(d^2＋(L/2)^2))

d>>L　のときの収束の話は、前回の回答のまま成立しています。
ついでに、逆に、導線の極く極く近傍では　ｄ→0　なので

√(d^2＋(L/2)^2)→L/2 となりますので、

kｑ/(d・√(d^2＋(L/2)^2))　→　kｑ/(d・(L/2))＝2ｋ・ρ/d

となり、Ｌが無限の長さの場合の値に収束します。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます
お陰様できちんと理解できました

回答No.2

Quarks

おっしゃるように、導線の端の辺りでは、導線に対して傾いた方向に電気力線が延びていますので、導線からあまり遠くない地点では、電場はあまり"キレイな形"にはなっていません。このような場合には、ガウスの法則を適用すること（無限に長い導線の場合に使った解法）はできません。
　ではどうするかと言えば、導線を短い部分（長さが無限小の断片）の"点電荷"の集合とみなして、その寄与を長さに渡って足し合わせる操作(＝積分）をして求めることになります。導線の中心から導線に対して垂直な方向にｄだけ離れた地点Ｐにおける電場Ｅは

　　E=kｑ/(d・√(d^2＋L^2))

となります。なお、式中のｋはクーロン法則の定数、ｑは導線全体の電荷　ρ・Ｌ　です。
もっと一般的な場所における電場の式は、より複雑な形になります。

　ところで、距離ｄがＬに較べて十分に遠いときや、導線の長さLが極めて短い場合には、
√(d^2＋L^2)　→　d　となりますから
　Ｅ→kｑ/(d^2)
となり、点電荷から距離 ｄ だけ離れた地点での電場を与える式に収束します。

回答No.1

simotani

割るだけで良いのかどうかは、どの程度の学力を要求するかに依ります。
高校ならば端部の処理は「考慮する必要がない」です。
大学理工学部ならば教科書に従い処理します。
一般的には端部は「電極に接続」と解釈して端部無しとします。