直線状に分布した電荷に関する問題。

質問

【一様な線密度λで帯電した長さ2lの細い棒がある。いま、この棒の垂直二等分線上、棒からaだけ離れたP点に点電荷Qをおく。点電荷の受ける力を求めよ。】

という問題があるのですが、私は棒上のある点をAとしてそのA点とQwo結んだ線の長さをr、点Aと点Pと棒の中心を結んだときにできる角度をθとして、
f = dF = Qλkcosθ/r^2
という式をつくり、それを
F = ∫[θ0←(-θ0)]fdθ
（θ0は点Pと棒の先端との角度です。また、cosθ = a/rとなります。）とおいて、解こうとしたのですが、答えが解答と合いませんでした。

解答では棒上にdxを設定してxで積分しはじめています。そちらはそちらで理解できました。

私の式の立て方の間違い（があると思うのですが）は、dFという微小部分の値を出すためには、右辺にもdxなどのように微小部分の値を設定しなければいけなかった、ということなのでしょうか？（半分カンで、そうなのかなと思ったのですが…）

よろしくお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

> 私の式の立て方の間違い（があると思うのですが）は、
> dFという微小部分の値を出すためには、
> 右辺にもdxなどのように微小部分の値を設定しなければいけなかった、
> ということなのでしょうか？（半分カンで、そうなのかなと思ったのですが…）

まさにその通りです．
λは電荷の線密度ですから単位は [C/m] です．
長さを掛けないと電荷の単位になりません．
x 付近(正確に言えば，x～x+dx)にある電荷は λdx としないといけません．
これで [C/m]×[m] でめでたく電荷の単位 [C] になります．
こうすると変数が x とθになりますが，両者は関係がありますから，
どちらか片方に統一して考えれば自然に積分ができます．

大学初年級を教えていますと，(上の例で)dx を掛けることを忘れる
(というか，理解していない？)学生さんは多いです．
で，最後に積分しないといけないからというのでテキトーに d(なんとか)をつけると
質問のようにしばしば誤った結果になります．

面積のことを思い出すとよいでしょう．
∫{a→b} f(x) dx で面積 S が出せますが，
x～x+dx の部分の面積は f(x) dx であって，単に f(x) ではないですよね．
だから，dS = f(x) dx なので，
自然に S = ∫{a→b} f(x) dx が出るわけです．
あとから人工的に(?) dx をつける必要はありません．

お礼

回答ありがとうございます。
とても分かりやすかったです！あと面積の例も初めて聞きましたが、納得できました。

回答No.2

sanori

＃１の回答者です。

すみません。
ｒを「定数」の仲間にしてしまっていました。

ｄＦ　＝　定数×λcosθ・ｄθ
ではなく
ｄＦ　＝　定数×λ／ｒ^2・cosθ・ｄθ
ですね。
失礼しました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

まず、
dF = Qλkcosθ/r^2
という式は、微小量と通常の量をイコールで結んでいるので、まずいです。

たぶん、dF = Qλkcosθ/r^2・ｄθ　とかですか。
私はよくわからないので、
ｄＦ　＝　定数×λcosθ・ｄθ
とでも置いておき、以下、話を進めます。

--------------(ここから重要)------------------
点Ｐから点Ａを見るとき、
θ＝０　付近のときは、棒を真正面に見ています。
ところが、θが０から離れるにつれ、棒を斜めに見ることになります。

つまり、同じ θ 幅（θ の範囲）であっても、それに対する棒の長さの範囲（幅）は異なります。
｜θ｜が π／２ に近いほど、部分的な棒の長さ（棒の電荷）を大きく取ってしまうということです。
Ａ　＝　ａsinθ
ｄＡ　＝　ａcosθ・ｄθ
（電荷で書けば、　λ／Ｌ・ｄＡ　＝　ａλ／Ｌ・cosθ・ｄθ　）

（Ａはｘのことで、ｄＡはｄｘのことです。）
--------------(ここまで重要)------------------

上記より、ｄθ　＝　ｄＡ／（ａcosθ）

ｄＦ　＝　定数×λcosθ・ｄθ
　＝　定数×λcosθ・ｄＡ／（ａcosθ）
　＝　定数×λ／ａ・ｄＡ

以上のことから、

Ｆ　＝　∫ｄＦ　＝　∫[θ＝-θ0→+θ0] 定数×λcosθ・ｄθ
　＝　∫[A＝-L→+L] 定数×λ／ａ・ｄＡ

たぶん、模範解答の式の形になっているのではないかと思いますが。

お礼

回答ありがとうございます。
＞微小量と通常の量をイコールで結んでいるので、まずいです。
なるほど、と思いました。