数学3 速度の問題

質問

お世話になっております。数学3からの速度の問題です。
(1) 水面からの高さが9mの崖から水面にある舟に綱を渡して毎秒2mの割合で綱を引く時、綱の長さが15mになった瞬間の舟の速さを求めよ

(2)水面から30mの高さの岸壁上から、58mの距離(直角三角形で言うと斜辺)にある舟を綱で引き寄せる。毎秒4mの割合で綱を引く時、2秒後の舟の速さを求めよ。

両方とも似たような問題だと思いますが、直角三角形から三平方使うくらいしかイメージつかないのですが、そこから先に進めなくて困ってます。物理の考え方使うわけでは無いですよね……。

ヒントだけで良いので、アドバイスいただきたく存じます。宜しくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
「三平方」で正解ですよ。

とにかく、三平方の式を立てます。
(1)であれば、綱の最初の長さがわからないので、L [m]とでもします。
また、崖から船までの海面に沿った距離を S[m]とします。
すると、
(L- 2t)^2＝ s^2+ 9^2

という関係式が得られます。
これを tで微分します。ポイントは、Sは tの関数であることです。
2(L- 2t)* (-2)＝ 2S* dS/dt
dS/dt＝ -2(L- 2t)/S

あとは、L- 2t＝ 15のときの Sがわかれば答えが出ます。
代入した値は負になりますが、「崖に近づく」ので負になることは理解できますよね。

直角三角形のままではありますが、形は常に変化しています。
そのイメージが大事です。

お礼

naniwacchi様。ご丁寧な回答ありがとうございました。

三平方で立てた等式を、「tで微分する」操作がすぐに思い付けませんでした。文章題は単純な計算をするのとは違って、何を求めるのかきちんと意識して解こうとしないとせっかくの微分も意味の無いものになってしまうのですね。 その辺気を付けたいと思います。
ご回答ありがとうございました。

補足

補足ではないのですが、解けました解けました。てこずったので嬉しいです(笑)。

水平方向の距離変化をその規則は分からなくても、S(t)と考えて、三平方から立てた式をtで微分したときものの見事にS'(t)つまり水平方向の速度が式に組み込まれる寸法というわけですか。

問題を考えた人も凄いですが、あっさり解いてしまう回答者の皆様も凄いですね。一応基本的な問題なのですが、それでも解ければ嬉しいものですね

回答No.6

naniwacchi

#3です。

#4さんの方法を少し変えると、こういう計算方法も。
x^2+ 9^2＝ y^2
dy/dt＝ -2

上の式の両辺を tで微分して
2x* dx/dt＝ 2y* dy/dt …(式A)
dx/dt＝ y/x* dy/dt＝ -2y/x

(式A)のところが「綱を引く速さ：dy/dt」と「船が崖に近づく速さ：dx/dt」の関係式を与えています。
また仰角をθとおくと、y/x＝ cosθと表すことができます。

正直「機械的に微分すれば、何かしらの時間変化がわかる」という考え方もありますね。
これはだいぶ物理寄りな考えですが。
また、置換積分の変数の置き換えもこれ近い考え方をしているところがあります。
ご参考まで。^ ^

お礼

単純な微分計算が物理よりであるというのは、微積分が物理現象の解析の為に考案されたようなものだから、という程度に今は考えておきます。あまり自分で色々考え過ぎても良い事ないので……。
ご回答ありがとうございました。

回答No.5

USB99

No4の訂止
引っ張るのでdy/dt=―2です。よって、dx/dt=-2. 5........です。

お礼

続けてお礼申上げます。

もう一度自分で立式から始めてご回答の内容を吟味したいと思います。ありがとうございました。

回答No.4

USB99

解3とほぼ同じですが
ロープの長さをy、ボートと岸からの距離をxとすると
x^2 +81 =y^2 ∴X=(y^2-81)^1/2
dx/dt =d x/dy・dy/dt=1/2・(y^2-81)^(―1/2)・2y・dy/dt ここで dy/dt=2より
dx/dt=2y・(y^2-81)^(―1/2)
y=15を代入して 2・15/12=2.5

お礼

ご回答ありがとうございました。

No.3様のご回答で大分イメージ出来たのですが、No.3様の内容に、「tの関数である」というのがポイントとありましたが、それがUSB99様のおっしゃる事なのかな、と。
つまり、立てた式をtで微分する発想と方法がよく分かっていなかったようです。
解の方針が大分見えてきました。助かりました。

補足

やっと解けました！結局自力では無理だったのですが、取り敢えずモヤモヤはとれて良かったです(笑)　少し数学チックな解き方かなぁとも思いましたが、考え方など大分参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

速さ＝距離／時間
は分かっていますよね。
ただしこれは、等速度運動の場合や平均速度の場合の式です。

瞬間速度の場合は、距離を時間の関数で表してS(t)とすると、
t=t0からt=t0+hの間の平均速度は、
(S(t0+h)-S(t0))/h
となるので、
t=t0のときの瞬間速度は、
lim[h→0](S(t0+h)-S(t0))/h
となります。

(1)
t0を綱の長さが15mになったときの時刻、
Sをt0時点から進んだ距離とすると、
S(t0)=0
S(t0+h)=√(15^2-9^2)-√{(15-2h)^2-9^2}=12-√(12^2-60h+4h^2)
平均速度は、
(S(t0+h)-S(t0))/h=(12-√(12^2-60h+4h^2))/h
　　={12^2-(12^2-60h+4h^2)}/{h(12+√(12^2-60h+4h^2))}
　　=(60-4h)/(12+√(12^2-60h+4h^2))
となるから、t0時点の瞬間速度は、
lim[h→0](S(t0+h)-S(t0))/h=60/(12+12)=5/2
となって、答は2.5m/s

(2)も同じ考え方です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

ボートの運動は、4m/sでひく力の分力のうちx成分かなぁとは先ず問題見た時に感じた事なのですが、高校の数学なのであまり物理過ぎることは言わないのかなぁと勝手に思ってたら、どんどんどつぼにハマりまして……

あとのnaniwacchi様のご回答にあるように、引っ張る速さは一定でも時間ごとにボートにかかる力はかなり変わるのかなぁと……

結局頭足りないみたいです(泣)
色々参考にさせていただきます。ありがとうございました。

補足

補足ですが、
例えば、綱に赤点でも打って観察すれば、赤点の運動は、等速度運動になりますか？(当然綱の引き方にもよるとは思います。機械が引くようにここでは等速度運動と考えた方が何かと楽な気がしまして)

このとき仮にロープと水面のなす角をθとおいた時、時間0[s]時の角はθとおけて、ボートの水平方向にかかる力は綱の張力のx成分で考えられそうな気がしたのですが、この角θは時間とともに変化するのはNo.3様の回答にあるように想像は出来ます。
ということは綱を引けば引くほどボートの水面成分は小さくなるように思えるのですが、如何なものでしょうか。どうしてもこの問題を考えると力学みたいに図から運動を捉えようとしてしまうのです。数学が苦手、物理はあまり得意ではないが好きという当方なのですが、この2題にあるような運動は物理的に考察する方法もご存じでしたら、ざっくりでも良いので、ご助言いただければ有り難いです。(注目の多い質問者ですいません)

回答No.1

chie65536（@chie65535）

(1)
高さが９ｍ、斜辺が15ｍの直角三角形を考える。

この時、斜辺と底辺の比を求めると、綱を引く速度と船の速度の比が求まる。

この三角形は、斜辺５、高さ３、底辺４と言う、有名な直角三角形の3倍の大きさであるので、計算不要で「底辺は12m」と判る。

舟の速度は「毎秒2m×（12/15）」であるので、船の速度は「1.6m/秒」である。

ここは「４対５は８対１０なので０．８。２×０．８＝１．６」ってのが、暗算できるようじゃないと困る。

(2)
2秒後なので、斜辺は58-4×2で、50m。高さは30ｍ。あとは(1)と同じ。斜辺と高さから底辺が40ｍである事を求め（つ～か、これも「３、４、５の有名な直角三角形」なので計算不要）、4×（４０／５０）＝3.2で、舟の速度は「3.2ｍ/秒」である。

ここも「４対５は８対１０なので０．８。４×０．８＝３．２」ってのが、暗算できるようじゃないと困る。

これ「３、４、５の直角三角形」を知ってれば、(1)も(2)も、問題読めば暗算で答えが出る、小学生レベルの問題。

直角三角形で、３辺が整数比になるのは「３：４：５」と「５：１２：１３」の２つ。

このうち「３：４：５」は問題集や試験問題で頻繁に出て来るので、覚えておこう。

これを覚えてると、この問題が両方合わせても１０秒で解ける。

一応、答えを求める式は（^2は「2乗」の意味）

(1)
２×（√（15^2-9＾2）／15）

(2)
4×（√（(58-2×4）^2-30＾2）／(58-2×4））

になる。（試験問題では途中式が無いと正解にならないから、式くらいは立てられるようにしとこう）

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

その方法も考えたのですが、解答とは違うようです。一応数学3の速度関連の問題で、時間t[s]の関数で解くようです。

(2)については、斜辺方向のt秒後の距離を58-4t と考えて三平方から底辺の距離を表すtの関数を求めて、v=x/t に当てはめるのかなぁと考えたら、見事に間違えてしまいました。