三角関数の相互関係式

質問

よく三角関数の相互関係式の最初（公式確認の問題）で出てくる「sinα=4/5とするときcosαを求めよ。」という問題ありますよね。
あの問題を解く際に直角三角形を考え問題文より斜辺＝５、高さ＝４、三平方の定理から底辺＝３と分かるのでcosα=3/5として求めてはいけない明確な理由が得られません。なぜいけないのでしょうか？問題に「直角三角形である」というキーワードがないためという理由はどうしてもピンときません。

回答No.4

KENZOU

＞いけない明確な理由が得られません。なぜいけないのでしょうか？問題に「直角三角形である」というキーワードがないためという理由はどうしてもピンときません。

確かにまぎらわしい問題ですね。sinα=4/5という問題で右辺の4/5という分数形式に引っかかると直角三角形のイメージが湧いて、cosα=3/5でなぜいけないのか、、、？ということになってしまいます。そこでsinα=4/5=0.8と小数点に直してやりましょう。すると斜辺がナニ、高さがナニと区別できなくなくなります、つまり問題を一般的化することができますね。ここまで来ると有名なsin^2α+cos^2α=1という公式を思いだして、cos^2α=1-sin^2α=1-(0.8)^2=0.36、これからcosα=±0.6と求めることができます。つまりcosαの答えは±の2つあることになります（←直角三角形にイメージからはでてこない）。それでは何故2つの答えがあるのかかということは＃２のmirage70さんのご回答を参照してください。

回答No.3

kazaguruma87

sin, cosの基本的な考え方は質問者様のお考えのとおりです。
もし図を使って考えたいのならば、ｘｙ直交座標に円（原点中心、今回の場合半径５）をかきます。原点、円周上の任意の点、そこからx軸上に降ろした垂線を結ぶと直角三角形ができます。sinとｙの値の正負は一致するので、
　「斜辺＝５、高さ＝４、底辺＝３」
となる直角三角形はｙ＞＝０（０以上）の範囲で２つできますよね？

数学では条件を満たすすべての解が出ますが、現実として考えると切り捨てられるものよくがあります。今回のように、解としては正負両方ありますが、現実として直角三角形を考えた場合、負の長さや鈍角はないのでsin, cosの値はすべて正になります。
したがって、単に関数として計算した場合は、その条件を満たす答えをすべて求めなければなりません。

回答No.2

mirage70

sinα=4/5は、サインカーブを書くと、0<α<π/2、π/2<α<πに存在します。次に、
コサインカーブを書くと、cosαは0<α<π/2、π/2<α<πによって、+,-が存在することが判ります。
cosα=3/5のみでなく、cosα=-3/5もありますよと言っているのです、このときに「直角三角形である」というキーワードがないためと言えます。
「直角三角形である」ということは、0<α<π/2のみを検討していると言うことです。
ですので、(sinα)~2+(cosα)^2=1を使って、cosαを求めてくださいとの意味です。

回答No.1

endlessriver

よく意味がわからないのです。sin, cos は直角三角形の話ですからね－。

ただし、sinα=4/5を満たすαは０～２πの範囲に限ると２つの解があります。
α=α0,π-α0である。　ただし、α0は６０゜～９０゜の範囲の値である。
すると、cosα0=3/5, cos(π-α0)=-3/5 となります。