整数の数列{an}、{bn}が

質問

整数の数列{an}、{bn}が
5an+bn=2^n+3^n、4≧bn≧0(n＞0∧n∈N)
をみたすとき、b(n+4)=bnであることを示し、bnを求めよ

という問題の解き方を教えてください

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

#1ですが勘違いしていました。失礼。
以下のように考えればよいです。

2^(n+4)+3^(n+4）＝5×（整数）+2^n+3^n
の形になるので4≧b[n]≧0よりa[n]は確定。
5の倍数の差は無視できるのでb[n]は周期4で周期的になります。

補足

＞2^(n+4)+3^(n+4）＝5×（整数）+2^n+3^n
の形になるので4≧b[n]≧0よりa[n]は確定

2^(n+4)+3^(n+4）＝5×（整数）+2^n+3^n
の形になると何故4≧b[n]≧0よりa[n]は確定となるのですか？

回答No.4

noname#199771

#2です。
補足いただいた件。

与えられた式をみると、a[n]を5倍していて、b[n]は0から4の間までしか動けないからです。
もしa[n]が二通り以上の値を取れるなら、対応するb[n]のうち一つを除いて他の値がすべて0から4の範囲を超えてしまいます。

a[n]の係数が5というのとb[n]の値が連続した5つしか取れない（どちらも5）というのがミソです。

お礼

なるほどわかりました
ありがとうございました

回答No.3

ereserve67

2^n+3^n=5a_n+b_n (0≦b_n<5)

のようにみると，b_nは2^n+3^nを5で割ったあまりです．よってb_{n+4}は

2^{n+4}+3^{n+4}=2^n16+3^n81

=2^n(5×3+1)+3^n(5×16+1)

=5×(3・2^n+16・3^n)+(2^n+3^n)

を5で割った余りになります．ここで，5×(3・2^n+16・3^n)は5で割り切れるのでb_{n+4}は2^n+3^nを5で割った余りb_nに等しくなります．したがって

b_{n+4}=b_n(n=1,2,・・・)

が成り立ちます．

2+3=5よりb_1=0

2^2+3^2=4+9=13よりb_1=3

2^3+3^3=8+27=35よりb_3=0

2^4+3^4=16+81=97よりb_4=2

となります．したがって{b_n}は(b_1,b_2,b_3,b_4)の繰り返しですから

b_n：0,3,0,2の繰り返し

お礼

なるほどわかりました
ありがとうございました

回答No.1

noname#199771

問題がおかしいです。
すべてのnに対してa[n]=0のとき、b[n+4]>b[n]ですから。
たぶん、a[n]についての条件が抜けているのでは？