ある点から上にn個、右にm個動いた点への、最短ルートの数は全部で
(n+m)!/n!m!
通りある。
解説：上に行く記号をy、右に行く記号をxのように置いて
（y,y…y,x,x…x）
n個 m個
の順列と見ると上記の定理が出てくる。
（１）
（i）ｘ軸上を通るのは点（２．０）のみであるような道順は何通りあるか。
点（2.1）までは1とおりしかない。その後は
(1+3)!/3!1!=4
通りあるので、
ans 4通り
（ii)x軸上を通るのは2点（２，０）（３．０）を端点とする線分のみであるような道順は何通りあるか。
点(3.1)までは1通りしかない。その後は
(1+2)!/2!1!=3
通りあるので、
ans 3通り
（２）
一つの道順でｘ軸上を進む距離をXで表す。
（１）（i）はｘ=０、(ii）はｘ=１のそれぞれの場合の例である。
Xの期待値を求めよ。
(1)X=0の場合
通過する点が(0,0)ならば、(0,1)までは1通り。その後は6通り。∵上記定理n=1,m=5の場合なので
通過する点が(1,0)ならば、(1,1)までは1通り。その後は5通り。∵上記定理n=1,m=4の場合なので
以降も同様に考えるとX=0となるのは
21通り
(2)X=1の場合
通過する線分が(0,0)-(1,0)の場合、(1,1)までは1通り。その後は5通り。∵(1)通過点(1,0)の場合と同様
以降も同様に考えるとX=1となるのは
15通り
(3)X=2の場合
通過する線分が(0,0)-(2,0)の場合、(2,1)までは1通り。その後は4通り。∵(1)通過点(2,0)の場合と同様
以降も同様に考えるとX=2となるのは
10通り
(4)X=3の場合
通過する線分が(0,0)-(3,0)の場合、(3,1)までは1通り。その後は3通り。∵(1)通過点(3,0)の場合と同様
以降も同様に考えるとX=3となるのは
6通り
(5)X=4の場合
通過する線分が(0,0)-(4,0)の場合、(4,1)までは1通り。その後は2通り。∵(1)通過点(4,0)の場合と同様
以降も同様に考えるとX=4となるのは
3通り
(6)X=5の場合
(0,-1)→(0,0)→(5,0)→(5,2)
の1通り
∴Xの期待値は
0*21/56+1*15/56+2*10/56+3*6/56+4*3/56+5*1/56
=5/4
=1.25
ans 1.25
もっと簡単な解法もあるかも。
少し丁寧に解説しました。
お礼
とても丁寧な解説ありがとうございます!! 助かりました！