三角形の合同条件

質問

「２辺と１角が等しい」というだけでは三角形は合同だとはいえませんが（下記URL参照）、
AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'に「AB<AC」という条件を加えると合同だと言えるでしょうか？
「AB<AC」という条件が加わると、下記URLのような状況は生まれそうもないので、合同だと言えるのではないかという気がしますが、確証が持てません。
もし、一般的に証明できるなら、どのように証明したらよいかも教えていただけると幸いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F:2%E8%BE%BA%E3%81%A81%E8%A7%92%E3%81%8C%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%8C%E5%90%88%E5%90%8C%E3%81%A7%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%84%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E4%BE%8B.png

なお、これは課題やレポートではありません（念のため）。

回答No.3

quantum2000 · ベストアンサー

図形的に考えると，ほとんど明らかに「合同だ」と言えそうですね．
Ｎｏ．２さんの説明で，よいのではないでしょうか．
（なお，Ｎｏ．１さんの「対称図形」も合同にはなっています．）

では，「一般的に厳密に証明しよう」と考えると，例えば「第１，第２余弦定理」を使って，

［証明］
（ＡＢ＝Ａ'Ｂ'，ＡＣ＝Ａ'Ｃ'，∠Ｂ＝∠Ｂ' を仮定し，
　　ＡＢ＝ｃ， ＢＣ＝ａ， ＣＡ＝ｂ
　　Ａ'Ｂ'＝ｃ'，Ｂ'Ｃ'＝ａ'，Ｃ'Ａ'＝ｂ'
と表すことにします．すると，
　　ｃ＝ｃ'，ｂ＝ｂ'，∠Ｂ＝∠Ｂ'　　　(1)
が成り立っている訳です．

すると，まず「（第２）余弦定理」より，
　　ｂ ＝ ａ^2 ＋ ｃ^2 － ２ａｃ ・cosＢ　　　　(2)
　　ｂ'＝ ａ'^2 ＋ ｃ'^2 － ２ａ'ｃ'・cosＢ'　　　(3)
ここで，(3) に条件(1) を代入すると，
　　ｂ ＝ ａ'^2 ＋ ｃ^2 － ２ａ'ｃ ・cosＢ　　　(4)
だから，(2)＝(4） より，
　　ａ^2 ＋ ｃ^2 － ２ａｃ・cosＢ ＝ ａ'^2 ＋ ｃ^2 － ２ａ'ｃ・cosＢ

これを整理整頓すると，
　　（ａ^2 － ａ'^2）－ ２ｃ・cosＢ（ａ－ａ'）＝ ０
さらに左のカッコの中を因数分解して，
　　（ａ＋ａ'）（ａ－ａ'）－ ２ｃ・cosＢ（ａ－ａ'）＝ ０
だから，結局，
　　（ａ－ａ'）（ａ＋ａ'－２ｃ・cosＢ）＝ ０　　(5)
と因数分解されます．

ここで，今度は「第１余弦定理」より，
　　ａ ＝ ｂ・cosＣ　＋ ｃ・cosＢ
　　ａ'＝ ｂ'・cocＣ' ＋ ｃ'・cosＢ'
ですが，仮定(1) より，
　　ａ'＝ ｂ・cosＣ' ＋ ｃ・cosＢ
となるので，(5) の式に関して，
　　ａ＋ａ'－２ｃ・cosＢ ＝（ｂ・cosＣ＋ｃ・cosＢ）＋（ｂ・cosＣ'＋ｃ・cosＢ）－２ｃ・cosＢ
　　　　　　　　　　　　　＝ ｂ・cosＣ ＋ ｂ・cosＣ'
　　　　　　　　　　　　　＝ ｂ（cosＣ＋cosＣ'）
これを(5) に代入すると，
　　（ａ－ａ'）ｂ（cosＣ＋cosＣ'）＝ ０　　(6)

ここで，ｂ≠０ だから，
質問者さんが指摘したＡＢ＜ＡＣ（つまり，ｃ＜ｂ） の条件がないと，
　　cosＣ＋cosＣ' ＝ ０
の場合があるので，（つまり，Ｃ' ＝１８０゜－Ｃ　のとき）
　　ａ－ａ' ＝ ０
が言えない，つまり，
　　ａ＝ａ'
が言えないので，合同とは言えない訳です．

ところが，今，新たにＡＢ＜ＡＣ（つまり，ｃ＜ｂ） の条件があると，
　　∠Ｃ ＜ ∠Ｂ　　　(7)
となるので，（これも１つの定理ですね．）
　　∠Ｃ＝（鋭角）　　　(8)
となります．
（なぜなら，∠Ｃが直角か鈍角だと，(7)より，∠Ｂが鈍角にならないといけなくなり，
三角形の内角の和が１８０°を超えてしまうからです．）

また，新たな条件ＡＢ＜ＡＣ（つまり，ｃ＜ｂ） の条件があると，もちろん仮定(1) より，
　　Ａ'Ｂ'＜Ａ'Ｃ'（つまり，ｃ'＜ｂ'）
なので，
　　∠Ｃ' ＜ ∠Ｂ'
となるので，(8) のときと同様にして，
　　∠Ｃ'＝（鋭角）　　　(9)
となります．

すると，(8)，(9) より，
　　cosＣ ＞ ０
　　cosＣ'＞ ０
だから，
　　cosＣ＋cosＣ' ≠ ０
となります．

そうすると，(6) で，
　　ｂ≠０
　　cosＣ＋cosＣ' ≠ ０
だから，結局，
　　ａ－ａ' ＝ ０
すなわち，
　　ａ＝ａ'
となり，２つの三角形の合同が言えます．［証明終］

・・・ややこしくて，あまりすっきりしてませんね．
やはり，図形的に証明した方が解りやすいでしょう．
お騒がせしました！

回答No.4

noname#16507

合同だと思います。
図形的な証明ですが…

２次元のグラフにおいて
ABをA=原点となるようにx軸と重ねると、
Cとなりうる点の集合は半径ACの円となります。
ここでB基点の半直線を考えると、
AB<ACであれば、Bは円の内部にあることになり、
半直線Bの傾き(∠B)が決まれば、
半直線Bと半径ACの円の共有点Cは唯一ひとつに決まると思います。

回答No.2

noname#18810

合同だと言えると思います。
ULTにあるようにABとA'B'は固定して考えてみましょう。
「AB<AC」ということは、二つ目の図のように点A'から同じ距離の点C'を線BC上にとろうとすると、点B'より左になってしまいます。この場合、必ずしも、「∠B=∠B'」を満たしません。∠B=∠B'=90度の時なら満たすことができます。その場合、直角三角形の合同条件で三角形ABCと三角形A'B'C'の合同は証明されます。(∠B=∠B'=90度　AB=A'B'　AC=A'C')
つまりこのことから[AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'に「AB<AC」]を満たす二つの三角形は直角三角形に必ずなります。
あまり自身がないので間違っていたら遠慮なくご指摘ください。

回答No.1

poohron

合同とは言えない場合があると思います。

頂点Aと頂点A'が同じ点で、頂点Bと頂点B'も同じ点だとしましょう。

辺AB（辺A'B'と同一ですね）について線対称の位置に頂点Cと頂点C'があれば
AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'、AB<AC　は満たしても
△ABCと△A'B'C'は合同ではなく、対称図形となります。