1/log(n) ってなんですか？

質問

はじめまして。
私は数学に全くうといものです。
仕事で読む経済の仕組みの記事の中にたまに、log という文字を使った数学の式が書かれています。
そこで、それが理解できるように数学の勉強をしたいと思っています。
log というものが理解できるようになるには、どのジャンルをやればいいのでしょうか？
統計、微分積分、、、どれをやればいいのかわかりません。

オススメの書籍がありましたら教えてください。

回答No.6

easylife · ベストアンサー

no.3です。
失礼しました。
前回の私の説明で、計算の最後の部分で変なこと言ってましたので訂正させてください。
21log2＋5log3=21×0.301＋5×0.477=8.71
となるので、最初の掛け算の答えは10^8と10^9の間の数、というのが正しいです^^;
スミマセン。

どういう意図でlog10nという指数を導入したのか、問題を見てみないとよく分かりませんが、nが増加するに従って1/log10nは、1/log10n>0の範囲で「単調に減少」していくので、確かに比較のための指標になりうるでしょう。
log(N/n)Nは、1/log10nと等しいわけではなさそうですね。
しかし、
log(N/n)N=1/logN(N/n)=1/(1-logNn)
となるので、log(N/n)Nは、nが増加するのに伴って「単調に増加」するため、やはり指標として使用しうると思われます。

no.5さんのご説明された「人の感覚と対数」ですが、このことは対数のグラフをご覧になればより感覚的に理解できるかもしれません。
対数関数y=logaxは指数関数y=a^xと「逆関数」の関係にあるため、両方のグラフを書くと、直線y=xに関して対称になります。
つまり対数は、xが大きくなるに従って頭打ちになるのです。

対数のもう一つの便利な利用法として、「片対数のグラフ」があります。
「両対数」もありますが、使用頻度としては「片対数」多いと思います。
これは、グラフのy軸が対数目盛りになっているものです。
例えば、
(1,10), (2,100), (3,1000), (4,10000),...
という点を順にグラフにプロットしていくことを想像してください。
2、3点ならいいかもしれませんが、通常のグラフでは、10点なんてとても書けないと思います（よかったら試してみてください）。
しかし、y軸が対数目盛りであれば、上記の例は単なる1次関数のように、グラフが直線で表されることになるので便利なわけです。

お礼

みなさまありがとうございました。
もっと勉強して理解していきたいと思います。
またの機会に宜しくお願いします。

回答No.5

stomachman

●「常用対数」
対数はかけ算・割り算を速くやる手段として長い間使われてきました。
科学技術の計算では有効桁数がせいぜい数桁ですから、
1.23
なんて書いてあっても（お金の計算とは違って）1.234でも1.225でもありうる。
で、このような数値をかけ算・割り算するのが大変なんで、対数を使うんです。
1.23 × 5.12÷3.21 = ?
「対数表」という本があって、これで1.23と5.12と3.21の対数が幾らであるかを調べます。
log(1.23) + log(5.12) - log(3.21)
の足し算・引き算をやって、その答をまた「対数表」で逆引きして普通の数（真数）に戻す。
コンピュータのない時代のレンズメーカでは、光線の屈折の計算をやるのに、大部屋一杯に並んだおねえさんたちが対数表とそろばんを使っていたそうです。

あらゆる数について「対数表」を作るとなったらさぞ大変だろうと思うところですけれど、
log(123)=log(1.23×100)=log(1.23)+log(100)=log(1.23)+2
ですから、実は1から10までの数についてだけ表を作れば十分です。

これを器械でやるのが「計算尺」です。計算できる有効桁数はせいぜい３桁ですが、電卓が普及する以前、大抵の技術者が使っていた道具です。物差し２本を使って、長さの足し算・引き算をやるだけなのですが、物差しに対数で目盛が切ってある。ですから、対数の足し算・引き算、すなわちかけ算・割り算ができるわけです。（ついでに、三角関数などの計算のための目盛も付いています。）
なお、計算尺を使うとき、指数の部分は暗算でやります。1240×320と言われたら、計算尺を操作しつつ同時に「４桁と3桁のかけ算であるから10の5乗と6乗の間」と見積もるわけです。（もちろん今でも「オーダー」（つまり桁数）がどれだけか、という大まかな見積もりが重要であることに違いはありません。）

このように、底が10である対数は文字通り「常用」されていました。

●「人の感覚と対数」
星の明るさを「１等星」「２等星」などと呼ぶのをご存じでしょう。この数字は、目が星から受ける光の強さの対数になっています。音の大きさを測るのに「80ホン」だとか「40デシベル」とかいう単位を聞いたことないですか。これらは耳が受ける音の物理的エネルギーの対数になっています。そのほか、人の感覚の多くが対数でよく近似できることが知られています。
1000円の定食をたべて100円マケてもらったらなんだかうれしいですけど、1000万円の高級車を買って100円マケてもらっても全然うれしくないですね。お金の感覚もまた対数ということでしょうか。

お礼

人の感覚と対数
おもしろいですね！
学校の数学というものもこんな風に実生活に基づいて授業ができれば、もっとおもしろいのになと。。。脱落組みは思うのでした。

ありがとうございました。

回答No.4

38endoh

実例を挙げればわかりやすいでしょうか。

10 円で買った株を 100 円で売ったら，資産は 10 倍です。
また，100 円で買った株を 1000 円で売ったら，資産は 10 倍です。
ただ，前者は株価が +90 円の伸びで，後者は +900 円の伸びです。
よって，株で得る利益は，株価の差額では議論できません。

次に，株価を log_10 で書き直してみます。10 は 10 の 1 乗，100 は 10 の 2 乗，1000 は 10 の 3 乗ですから，log_10(10) = 1，log_10(100) = 2，log_10(1000) = 3 です。この関係を用いて，先の例を書き直してみましょう。

株価の対数値 1 で買った株を 2 で売ったら，資産は 10 の (2 - 1) 乗倍（= 10）です。
株価の対数値 2 で買った株を 3 で売ったら，資産は 10 の (3 - 2) 乗倍（= 10）です。
となります。対数値を使うことで，差で議論することが出来るようになるのです。

このように，対数は本来“比（率）”で議論するべきものを，“差”で議論する時に用いられます。

お礼

とてもためになりました。
納得です。
ありがとうございます。

回答No.3

easylife

こんなに短時間で対数の意味がお分かりになったというのは素晴らしいと思います。
おっしゃるとおり、割り算や引き算で比較することもできるでしょう。
最初にlogが発明されたのは恐らく、計算結果が天文学的な、大きな数字になるような場合、その答えがどれくらいのオーダーの数か？というのを見当を付けたい、という発想からきてるんじゃないでしょうか。
例えば、
256×648×3072
という計算をまともにするのは大変そうなので、
log(256×648×3072)=log256＋log648＋log3072=8log2＋(3log2＋4log3)＋(10log2＋log3)=21log2＋5log3
となり、0<log2<1なので、この最初の掛け算の答えは10^20（10の20乗）と10^21の間の数だ、ということが分かるわけです。

あと1/log(n)ですが、1÷log(n)という意味になります。
対数の計算に必要な公式を勉強されれば、
1/log10n（10は対数の底）=logn10（nは対数の底）
が成り立つことに気付かれるでしょう。

お礼

ありがとうございます。
ほんと人の考え方っておもしろいですね。

私が理解したことをまとめます。
nを今回の英語の模擬試験で100点をとった人数とすると、
学校ごとの100点の人の数を比べる指数として、1/log(n)が使用できる。
また、Nを各学校の人数とすると、log(N/n)Nは、1/log(n)と同じ意味をなす。

合ってますでしょうか？

回答No.2

laputart

対数というもので指数と対で学びます。
LOG2８=3 <-- 2は下に小さく書きます
これは８は２を何乗したものかということで
答えは３
常用対数は10を底としますので　Log N = X とは
Nは10のX乗ということです。

簡単に言うと大きな桁数の計算をする時に便利な考え方です。
指数、対数をキーワードで検索されてはいかがですか

回答No.1

asuca

まずは参考URLの所を見てはどうでしょう。

参考URL：

http://members.jcom.home.ne.jp/ararapon/bean/logarithm.htm,http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/log.htm

補足

laputartさん、asucaさん迅速な回答ありがとう御座います。こんなに早く回答いただけると思っていませんでした。感激です。ネットでも結構参考になるサイトがあるのですね。
ご紹介いただいたサイトとても参考になりました。

よんでいてふと素朴な疑問がわいたのでお聞きします。
http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/log51.htm

このURLに書かれている内容ですが、単純に
基準の身長を１７０CMとしたとき、
ｌｏｇ1.7１．９やｌｏｇ1.7１．６
とするのではなく、
170割る190で割合で比べるのと、どう違うのでしょうか？

宜しければ教えてください。
logの仕組みは分かったのですが、
あと、1/log(n)という表記の意味がよくわかりません。
こちらも宜しければ教えてください。