この問題の答え合わせをしてください

質問

累次積分∫（０から（π/３）＾１/２）∫（ｘから（π/３）＾１/２）sin(y^2)dydxを求めよという問題ですが、答えがあっている分からないので答えを確認してください。答えは１/４になりました。途中式も教えてください。

回答No.2

alice_44

ずいぶんたくさんの問題を、同時に、
自分の計算過程を書かずに質問しておられますね。

まるなげしないで、質問者さんの解答を補足願います。
1/4 で合っています。

回答No.1

info22_

積分領域を書き換えると合成関数の積分公式を使って積分できます。

D={(x,y)|x≦y≦(π/3)^(1/2),0≦x≦(π/3)^(1/2)}
={(x,y)|0≦x≦y,0≦y≦(π/2)^(1/2)}

∫[0→(π/3)^(1/2)] dx∫[x→(π/3)^(1/2)] sin(y^2)dy
=∫∫[D] sin(y^2) dxdy
=∫[0→(π/3)^(1/2)] dy∫[0→y] sin(y^2)dx
=∫[0→(π/3)^(1/2)] sin(y^2)dy∫[0→y] 1 dx
=∫[0→(π/3)^(1/2)] sin(y^2)dy [x][x:0→y]
=∫[0→(π/3)^(1/2)] sin(y^2) ydy
=∫[0→(π/3)^(1/2)] (1/2)(y^2)'*sin(y^2) dy
=(1/2)∫[0→(π/3)^(1/2)] (y^2)'*sin(y^2) dy

合成関数の積分公式を適用して

=(1/2)[-cos(y^2)][0→(π/3)^(1/2)]
=(1/2){cos(0)-cos(π/3)}
=(1/2){1-(1/2)}
=1/4

合ってるよ。