不定積分の公式の解説でわからないところがります。

質問

[ねらい]のところにある説明で、合成関数の微分の手順をどのように使ったら赤文字の不定積分
の公式が導きだされるのか理解できません。また　赤の波線は何を意味しているのでしょうか。
高１で自分で勉強していて理解できません。ご指導ください。

回答No.1

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

え～っと、積分というのは、微分の逆演算です。つまり積分形の等式を微分してできる等式も、常に成り立つということです。

赤字の等式の両辺を微分してください。左辺は∫と dx を取り除くだけですね。右辺もそれと同じものになるはずです。

目で見て頭の中だけで考えるのではなくて、実際に紙の上で計算してみてください。右辺のような式は、どうやって微分しますか？「u^(α + 1) を u で微分する計算」と、「u = ax + b を x で微分する計算」の両方を使う、つまり合成関数の微分をするのでしたね。

「赤の波線」ですが、この「×(ax + b)'」という部分が分かっているかどうかが正に、合成関数の微分を知っているかということと同じなのです。教科書で、合成関数の微分のページを見直してください。そこに書いてあることを理解していないと、この積分もできるはずがありません。「'」の記号は確か、1 次の導関数を意味するのでしたね。

「合成関数の微分では、関数と関数の掛け算をしたような…。それに、微分すると、どんな係数が出てくるのでしょうか。」

つまり、微分ではどのように式が変化していくのかが分かっているか。その逆を行うのが積分なのだから。「ねらい」にある「手順を思い浮かべながら」というのは、そういう意味だと思います。

それができれば、赤字の等式は当然の結果なのであって、公式と言うほどのものでもありません。

繰り返します。実際に紙に書いて、微分してください。その上で分からなければ、行った微分の計算を示しながら、またお尋ねください。

お礼

合成関数の微分と同じように積分も解けるのかあと思いましたが、そうではないことが解りました。
丁寧な解説本当にありがとうございました。