ベータ分布の正規分布近似について
二項分布やガンマ分布の正規分布近似は成書によく記載されています。そこで二項分布の仲間であるベータ分布Be(a,b)を正規近似してみようと思いました。
Be(a,b)の平均であるa/(a+b)、分散ab/((a+b)^2*(a+b+1))をそのまま用いN(a/(a+b)、ab/((a+b)^2*(a+b+1)))としたらどうかと思いグラフで見たところ、なるほどa,bがそれぞれ8,9以上になると、モードと平均の差が殆ど無くなり左右対称の釣鐘型に見えてきます。どうやらa,bが大きくなれば正規分布に近づいていきそうだというのはうすうす分かるのですが、このやり方では感覚的に過ぎるのではないかとも思いました。何かスターリングの公式のような近似か、極限を用いて数式的証明をするべきなのでしょうか？それとも実際に色々なa,bの値のもとでグラフ曲線を描き、一々正規曲線を当てはめてみるべきなのでしょうか？それとも二項分布の逆正弦変換のように何かデータを変換させるとかいう方法があるのでしょうか、どうかお教え願います。
補足
証明の手順を示してほしいんですけど