思考実験です

質問

今、地球上で、水平方向に等速直線運動している物体があります。
この物体には外部から何らの力も働いていません（ゆえに、等速直線運動している）。
つまり、地球上でありながら、重力も空気抵抗も無視します。
その状態で、突然、鉛直下向きに力（重力）が働き出しました（もちろん、実際にそんなことはありえず、これは思考実験です）。
進行方向に対して垂直に働く力は物体に仕事をせず、ただ方向を変えるだけですよね？
ということは、鉛直下向きに力がかかった瞬間は、方向を変えるようにのみ働き、その次の瞬間から、物体の速さを増加させていくのでしょうか？
ちなみに、この力は、向心力のように常に垂直にかかる力ではなく、地球上で働く重力だと考えてください。

回答No.15

CC_T

訂正と補足。

等速円運動について、向心力が働いている向きに対して物体は移動しないと見て、向心力が働く向きは物体の運動方向（接線方向）と常に垂直に働いていると見るわけですね。つまり運動の座標軸をオモリの回転軌道上にとると、それに直交する向心力の軸は回転中心を向く、と。

である以上は質問者様の指摘の通り、教科書の公式において向心力、つまり紐の張力は物体に対して「仕事をする」ことにはならないですね。
教科書では仕事W =力 F×距離s× cosθ　で示されているでしょうから、cos90°= 0　である限りは当然、仕事はゼロとなります。

了解です。
つまり慣性系でオモリを垂直に吊った紐の支点がオモリと一緒に水平に移動している状態と等価であり、オモリの高さも移動速度も変化せず、紐はオモリを吊っているだけ。つまりオモリのエネルギー状態は変化していないのと等しく、当然紐がオモリに成す仕事はゼロとなるわけですね。
もし紐がオモリに対して仕事をするならば、その分紐に対してエネルギー収支が必要ってことですから、エネルギー保存則から見てもこれは問題ないのだろう。くそう、これだから微分なんて嫌いなんだ。

ともあれ向心力の仕事の件について、大変失礼しました。向心力はオモリに対して仕事をしていないと訂正します(_"_)

～～～
ということで、当初の質問に立ち返って重力が突然かかった場合。
これは垂直投げ上げで上死点に来たときと同じですね。速度がプラスからゼロになり、そしてマイナスになるまさにその「瞬間」のことを仰りたいのでしょう。
今度は上の向心力みたいな視点の変換は無用ですね。

で、確か先の回答にも似たような事を書いたような気がしますが、方向というものは移動の結果です。方向があって移動するのではなく、移動した結果が方向になるのであって、移動を伴わない方向というものは無い。

つまりどれだけの微小時間を考えたとしても、重力が働いた瞬間に必ず移動が起きており、その結果方向が生じる。同時にどれほど微小であろうとそこには移動距離が発生するため、「仕事」が発生することになります。数学上は1÷∞＝０とした近似処理を認めていますが、現実には1÷∞≒０であって両者は決して等しいわけではありませんよね。

時間経過を考えない「瞬間」ならどうなんだと言うなら、自由落下に限らずどの「瞬間」を切り取っても移動距離＝ゼロですから、「瞬間」では仕事は確かに存在しません。もちろんその「瞬間」には移動はおきず、したがって方向も意味をなさない。

ドラえもんのタンマウォッチで時を止めたら、何物も何物に対しても「仕事」していないことになりますが、同時にいずれの物体がどちらの「方向」に向かって移動しているかってのも判断できないですよね。
タンマウォッチだろうとTheWorldやスタープラチナだろうと、要は時を停めている最中と時が動き始める「瞬間」の違いは全く無いでしょうよ。

”紐とオモリの位置関係が変わらない”向心力の「仕事ゼロ」というのとは違う話って事がご理解いただけますでしょうか？

回答No.14

ORUKA1951

＞方向をかえるだけでは仕事をしたことにはなりませんよね?
＞少なくとも教科書や参考書の定義では

　いいえ、では台の上を水平に等速直線運動している球が、台の端まで来たときのことを考えてください。
　台の上で等速直線運動しているときは、重力は球に対して仕事をしていません。
　台を通り過ぎると、水平方向には速さは変わりません。しかし、垂直方向についてみると加速されます。結果的に速度!!!が変わっています。

　分かりやすいのは、水平方向への速度がゼロの状態で考えることですかね。

＞鉛直下向きに力がかかった瞬間は、方向を変えるようにのみ働き、その次の瞬間から、物体の速さを増加させていくのでしょうか？
　これは、微分・積分の考え方が必要です。∫
　瞬間はゼロですから、向きは変わりませんわね。
　「その瞬間から物体の速さを増加させていくのでしょうか？」
　そうです。継続して力が加わるから力の加わった方向の「速さ」が変わるのです。元々の方向への速さは変わりません。・・結果的に「速度」が変わるのです。

回答No.13

CC_T

NO.11補足より再回答です。

> 等速円運動は運動エネルギーが変化しないので,向心力は仕事をしない

運動エネルギーが変化しなければ、物体は同じ速さで同じ方向に移動を続ける（＝等速直線運動）か、その場で静止するのではないですしょうか？　
また少なくとも方向が変わる以上、物体にはその慣性力による回転モーメントというものが生じるわけですが、その分のエネルギーはどこで帳尻が合うと考えれば良いのでしょうか？　（エネルギー不変の法則）

観覧車やカルーセルなどの隣り合うゴンドラの運動エネルギーは同じ運動エネルギー？
極端な話180度まわって運動の方向が逆でも同じ運動エネルギー？
私は外部の観測者として２つのゴンドラの運動エネルギーは異なるという認識でいるのですけれど、いかがでしょうか？

以上、回答のはずが質問になっちゃいましたけど。

補足

>運動エネルギーが変化しなければ、物体は同じ速さで同じ方向に移動を続ける（＝等速直線運動）か、その場で静止するのではないですしょうか？

力が働かなければ,ですよね(慣性の法則)

運動エネルギーは1/2mv^2
「等速」円運動は,速さは変わらず方向だけが変わる運動
速さも質量も変わらなければ,運動エネルギーは変わらない
ならば,等速円運動では,運動エネルギーは変わらない
違いますか?

回答No.12

ORUKA1951

＞仕事の概念が違うようです
　そうです。仕事の概念という根本を間違えてらっしゃるようですね。
【引用】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ここから
力学での仕事の例
　例えば、 野球投手の投げるボールを考えると、投手は力を加えながら腕を振り、ボールに速度を与えている。つまり、ボールは投手から正の仕事をされて、ボールのエネルギー (運動エネルギー) は増える。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ここまで［仕事 (物理学) - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6) )］より

　これは、力を一定期間受け続けることによって、ボールの運動エネルギー(速度)が増えた結果です。※ここで速度であることにも注目。
　速度は「速さ」と「方向」ですから、その力が進行方向に対して直角である場合は「速さ」は変わらず「方向」だけが変わります。

　向心力と遠心力でも誤解があるようです。これは主体がどちらかという以上の違いはありません。紐でも引力でも構いませんが、その運動の中心にある物体に掛かる力が遠心力ですし、回転している物体に働く力が向心力です。

＞鉛直下向きに力がかかった瞬間は、方向を変えるようにのみ働き、
　　　　　　　　　加わっている間は、
＞その次の瞬間から、物体の速さを増加させていくのでしょうか？
　力が加わっている間は、物体の速度を変化させていく(という仕事をされる)

　⇒仕事 (物理学)( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6) )
　⇒加えられる力が一定であるが運動の方向と異なる場合( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)#.E5.8A.A0.E3.81.88.E3.82.89.E3.82.8C.E3.82.8B.E5.8A.9B.E3.81.8C.E4.B8.80.E5.AE.9A.E3.81.A7.E3.81.82.E3.82.8B.E3.81.8C.E9.81.8B.E5.8B.95.E3.81.AE.E6.96.B9.E5.90.91.E3.81.A8.E7.95.B0.E3.81.AA.E3.82.8B.E5.A0.B4.E5.90.88 )
　後者の「仕事をしない」との違いを混同しないようにしましょう。後者は運動の向きを変えていません。

　物理を学び始めてだれしも1度は混乱した経験がある部分ですね。

補足

>>方向をかえると言う仕事をしています

方向をかえるだけでは仕事をしたことにはなりませんよね?
少なくとも教科書や参考書の定義では

回答No.11

CC_T

NO.6補足質問戴いたので再回答です。

> 仕事の概念が違うようです
> 等速円運動の向心力は仕事をしないのでは?

え～と、どのような概念でしょうか？
私の持っている概念は、物体Ａと物体Bの間でエネルギーの交換があればそれは一方が他方に対して「仕事」をしたとするっていうもので、これは物理一般的な解釈だと思ってますけど・・・。

もしかして、月が地球の周りをまわっているのは地球と月が互いを引っ張るという向心力が月に対して「仕事」をしているため、というあたりで既に考え方が食い違っていますか？　
月に自己推進力は無いのはご承知の通りでし、月は地球の周りを等速円運動をしているといってもまぁ差し支えないでしょう。ここで向心力が「仕事をしない」のであれば、何が慣性運動（＝等速直進運動）に逆らって月を地球周回軌道に縛り付けていると言えるでしょうか。
運動軌道が直線ではなく、円を描くという事は外部の力（地球の重力）が月に対して仕事をしているからです。この地球と月が互いに引っ張る力は月の円運動から見れば向心力そのものですよね。

仕事とは力×距離でもあります。
紐にオモリを付けて振り回したら、紐の張力がオモリに向心力を伝えます。これによりオモリは慣性運動で直進するはずであった進路からずれて周回運動をするわけで、つまり向心力はオモリの進路がずれた分だけ「仕事」をしています。
この紐が切れた瞬間から向心力は仕事をしなくなり、つまりオモリは本来の直線運動に戻ります。運動方向だけが変わる瞬間というのは存在しません。
ちなみに紐でオモリを吊るしただけの状態では紐は”オモリに対して”仕事をしていません。オモリと紐の間ではエネルギーの交換が成立しておらず、オモリの位置も変化していないから。

補足

>ここで向心力が「仕事をしない」のであれば、何が慣性運動（＝等速直進運動）に逆らって月を地球周回軌道に縛り付けていると言えるでしょうか。

力が働く＝仕事をするではなく,運動エネルギーが変化する＝仕事をするですよね?(エネルギーの原理)
少なくとも教科書や参考書にはそう書かれています
等速円運動は運動エネルギーが変化しないので,向心力は仕事をしない
違いますか?
もちろん月は等速円運動ではありませんが

回答No.10

ORUKA1951

No.8です。補足しておきます。
運動エネルギーも違うのですよ。
同じ速さで運動している直線運動している物体に比較して等速円運動している物体は円運動という運動が加わっています。その方向は回転軸に対して直角で向きは回転方向に右手の4本の指をあわせると親指の方向です。
＞進行方向に対して垂直に働く力は物体に仕事をせず、ただ方向を変えるだけですよね？
　ではなくて、方向をかえると言う仕事をしています。

＞ということは、鉛直下向きに力がかかった瞬間は、方向を変えるようにのみ働き、その次の瞬間から、物体の速さを増加させていくのでしょうか？
　一瞬(実際にはゼロではない)力が加わると向きが変わります。--速さは変わらないが速度は変わります。常に力が加わり続ければ、力の方向を分解するとわかるように、力の加わる方向が直角でなくなるので、速さは増大していきます。

補足

>方向をかえると言う仕事をしています

仕事の概念が違うようです

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

この場合ベクトルで考える方が素直だと思いますよ。

別にどこかが間違っている訳ではありません。
確かに力のかかり始めのエネルギー変化率は0です。
これを運動を向きのみが変わる運動と定義すれば
確かにそうなりますが、円運動も含め向きのみが
変わる運動には様々なものがあります。

そこまでわかっておっしゃっているなら
特に問題ないと思います。
ただちょっと遠回りしているきがします。

お礼

ありがとうございます

回答No.8

ORUKA1951

いくつか原理的な部分で誤解があります。
重力も力、向心力も等価です。--向心力は仮想的な力です。
速度、速さの区別が定かではありません。速度は向きを持ちますが速さは向きを含みません。

重力が働かないのでしたら、地上を考える必要はありません。宇宙空間で等速直線運度をしている物体で良いです。
　その物体に速度の方向と直角に力が加わると、方向が変わりますから「速さ」は変わりませんが、「速度」は変わります。
　重力の場合は、進行方向に直角とは限りません。方向を変えた結果常に進行方向に直角な向きに働けば円運動--人工衛星--になりますし、水平方向より下向きに変えれば速さが増大しながら落下します(放物線)、足りなければ空のかなたに(楕円/双曲線)・・
　いずれにしても速度は変わりますから仕事をしたことになります。

　正確に「速さ」「速度」「仕事」を理解していないと折角の思考実験が成り立ちません。

補足

>向心力は仮想的な力

遠心力では??

回答No.7

noname#175206

もっと思考実験を単純にすればいいですよ。「地表で高さhで支えていた質量mの物体を自由落下させる。空気抵抗は無視するものとする」。実際にできることです。

　落ちる高さをΔhとしましょう。失われた位置エネルギーはmgΔhです。これが速度の増分Δvとなります。すると力学的エネルギー保存則は、mgΔh＝(1/2)mΔv^2です。Δh落下するのにかかった時間をΔtとすれば、Δv＝gΔtという関係式にもなります。すると、mgΔh＝(1/2)mg^2Δt^2という関係式も出てきます。

　これを「局所的」に書き直すのが、数学的には微分にするということです。それは、mgdh＝(1/2)m(dv)^2であり、dv＝gdtです。そして、mgdh＝(1/2)mg^2(dt)^2です。

　無限小の時間dtに注目すれば、

「鉛直下向きに力がかかった瞬間は、方向を変えるようにのみ働き、その次の瞬間から、物体の速さを増加させていく」

のではなく、

「鉛直下向きに力がかかった瞬間に、方向を変えるように働くと同時に、物体の速さを増加させていく」

であることが示されます。

お礼

ありがとうございます

回答No.6

CC_T

No.4補足回答です。言葉足らずでしたね。

力が働く＝　力がある物体に対して仕事をする
＝　物体の運動状態が変化する

力ってのは単位時間あたりに物体に加えられるエネルギーのことです。
エネルギーが物体にある時間作用した結果として、物体の運動状態（移動方向、速さ、スピンの角速度などの状態）の変化が観測できます。方向が変わるのは常に「結果」であり、逆に「方向が変わるから力が変化する」というものではありません。

補足

>力が働く＝　力がある物体に対して仕事をする
＝　物体の運動状態が変化する

仕事の概念が違うようです
等速円運動の向心力は仕事をしないのでは?