この問題が解けません・・・

質問

k,pを自然数とし、Ｊk,p=∫（０→１）ｘ＾ｋ（１－ｘ）＾ｐｄｘとおく。
（１）Ｊk,1の値を求めよ。
（２）ｐが２以上のとき、Ｊk,p=p/k+1Jｋ+1,p-1が成り立つことを示せ。
（３）（２）の結果を用いてＪk,pの値を求めよ。
（４）（n-1)Σ（k=1)nCkJk,n-k=0.8となるような自然数ｎの値を求めよ。
英小文字は大文字の下につきます。
この問題が難しくて解けないので、解ける人おねがいします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)Jk,1=∫(0→1)x^k(1-x)dx=∫(0→1)x^kdx-∫(0→1)x^{k+1}dx=1/(k+1)-1/(k+2)
=1/{(k+1)(k+2)}(答)

(2)部分積分より

Jk,p=∫(0→1){x^{k+1}/(k+1)}'(1-x)^pdx
=[{x^{k+1}/(k+1)}(1-x)^p](0→1)-∫(0→1){x^{k+1}/(k+1)}p(1-x)^{p-1}(1-p)'dx
=-∫(0→1){x^{k+1}/(k+1)}p(1-x)^{p-1}(-1)dx
={p/(k+1)}∫(0→1)x^{k+1}(1-x)^{p-1}dx

∴Jk,p={p/(k+1)}Jk+1,p-1(p≧2)

(3)(2)より

Jk,p={p(p-1)/(k+1)(k+2)}Jk+2,p-2
={p(p-1)(p-2)/(k+1)(k+2)(k+3)}Jk+3,p-3
={p(p-1)(p-2)・・・2/(k+1)(k+2)(k+3)・・・(k+p-1)}Jk+p-1,1
={p!k!/(k+p-1)!}Jk+p-1,1

(1)と同様にして

Jk+p-1,1=1/{(k+p)(k+p+1)}

∴Jk,p={p!k!/(k+p-1)!}{1/{(k+p)(k+p+1)}}=p!k!/(k+p+1)!

これはp=1のときも成り立つ．

Jk,p=p!k!/(k+p+1)!(答)

(4)n≧2としてk=1,2,・・,n-1に対し

Jk,n-k=k!(n-k)!/(n+1)!={1/(n+1)}(1/nCk)
nCkJk,n-k=1/(n+1)

条件式は

{1/(n+1)}Σ_{k=1}^{n-1}1=0.8

これをとくと

(n-1)/(n+1)=4/5
5n-5=4n+4,n=9(答)

※Jk,p=B(k+1,p+1)とかくと，B(x,y)(x>0,y>0)はいわゆるベータ関数と呼ばれるものです．これはガンマ関数Γ(x)と次の関係があります．

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

この式が(3)に相当します．ガンマ関数Γ(x)は階乗n!の拡張で

Γ(x)=∫_0^∞e^{-t}t^{x-1}dt(x>0)

で定義されます．実際Γ(n+1)=n!です．