「判別式を使わない方法。」で、

質問

３（ｘ－０）＋２（ｙ－３）＝０［直線(2)は２ｘ－３ｙ＋５＝０です。］
って何かの公式を使って３（ｘ－０）＋２（ｙ－３）＝０←これを一発で求めてますけど、どんな公式なんですか ？

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞何かの公式を使って

公式なんてありません。

「ある直線に垂直な直線」ってのは「ｘとｙの係数をひっくり返すだけ」です。

なぜかというと、２直線ｙ＝ｍｘ＋ａとｙ＝ｎｘ＋ｂが垂直の時、 ｍｎ＝－１になるからです。

２ｘ－３ｙ＋５＝０の式を、ｙ＝ｍｘ＋ａの形に変形すると

２ｘ－３ｙ＋５＝０
２ｘ＋５＝３ｙ
ｙ＝（2/3）ｘ＋5/3

になります。

ｍｎ＝－１かつｍ＝2/3なら、ｎ＝－3/2なので、２ｘ－３ｙ＋５＝０に垂直な直線の式は

ｙ＝（－3/2）ｘ＋ａ

になります。

平行移動しても元の直線と垂直なのは変わりませんから、平行移動します。

ｙ＝（－3/2）ｘ＋ａ

の直線が（０，３）を通る時、その直線を原点を通るように平行移動すると、原点ではｘ＝０、ｙ＝０です。

ｘ＝０、ｙ＝０で、ｙ＝（－3/2）ｘ＋ａが成り立つのは、ａ＝０の時です。

なので、原点を通る場合は

ｙ＝（－3/2）ｘ＝０

です。

ｙ＝（－3/2）ｘ

の両辺からｙを引いて

０＝（－3/2）ｘ－ｙ

両辺の符号をひっくり返して

０＝（3/2）ｘ＋ｙ

両辺を２倍して、右辺左辺をひっくり返すと

３ｘ＋２ｙ＝０

この式を、ｘ軸にａ、ｙ軸にｂだけ平行移動しても、元の直線と垂直なのは変わりません。

ｘ軸にａ、ｙ軸にｂだけ平行移動すると式は

３（ｘ－ａ）＋２（ｙ－ｂ）＝０

になります。

んで（０，３）を通るんだから

３（０－ａ）と２（３－ｂ）が両方とも同時に０になる時がある、って事です。

つまり（０，３）の座標の時は

３（０－ａ）＋２（３－ｂ）＝０

が成り立つって事で、それはａ＝０、ｂ＝３て事です。

３（０－０）＋２（３－３）＝０＋０＝０

ですからね。

ｘ、ｙを元に戻せば

３（ｘ－０）＋２（ｙ－３）＝０

になる訳です。

これを説明無しに書くと

「２ｘ－３ｙ＋５＝０に垂直で、（０，３）を通る直線は、３（ｘ－０）＋２（ｙ－３）＝０」

って事になります。

お礼

なんかの公式を使っていたわけではなかったんですね。

ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>(3, 2) に直交する「傾斜ベクトル」を (a, b) …

の (a, b) が決まったあとの話なら、
　参考 URL の
　　2.3.1 直線の方程式
　　　■ ある1 点から、方向を決めて引く直線の方程式
　　　1 点と傾きが与えられた直線の方程式
にあります…。

参考URL：

http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6169&PHPSESSID=4ojmuao9r1sp570mu7gecfvmd5

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

>３（ｘ－０）＋２（ｙ－３）＝０［直線(2)は２ｘ－３ｙ＋５＝０です。］　って何かの公式を使って３（ｘ－０）＋２（ｙ－３）＝０←これを一発で求めてますけど、どんな公式なんですか ？

ベクトル内積風のアプローチを知らないと「？」かも。

まず、直線(2) の表示式から「傾斜ベクトル」を抽出する。
　2x - 3y + * = 0 の形では、x を3 だけ増やすと y は 2 増えるから、「傾斜ベクトル」は (3, 2) 。

(3, 2) に直交する「傾斜ベクトル」を (a, b) としてみる。
直交条件を示す内積は、
　(3, 2)・(a, b) = 3a + 2b = 0
これを満たす一つのベクトルは、(a, b) = (2, -3)

原点を通り (a, b) = (2, -3) の定数倍 (k) のベクトル
　(x, y) = k*(2, -3)　　　…(*)
が直線(2) に直交する直線。
そのままの傾斜で、点 (xo, yo) を通らせるためには、
　(x, y) = k*(2, -3) + (xo, yo)　　…(**)
とすればよい。

(**) をバラしてみると、
　x = 2k + xo → (x - xo) = 2k
　y = -3k + yo → (y - yo) = -3k
なので、
　3*(x - xo) + 2*(y - yo) = 0
を得る。

…というストーリーがあり、その結果だけ、ポンと出されたわけです。

お礼

そんなストーリーがあったんですね。知りませんでした。

ありがとうございました。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

(0,3)を通る任意の直線の方程式は、A(x-0)+B(y-3)=0（但し、A,Bは任意の定数）
直線（２）が分からないので傾きに関しては何とも言えないが、これに関しての基本は
小学校卒業時か、中学の一次関数で習うので、そこまで遡って復習しましょう。

単純な恒等式で考えてもらったら、標準的な高校生にでも分かるかもしれません。