ヤコビアン（関数行列式）について 高度な数学の質問になります

質問

座標変換のことについての質問です。
現在、テンソル解析をしていて、
y=f(x1,x2,x3)
x=g(y1,y2,y3)
の座標変換を考えています。

この二つの座標変換が、可逆で、一対一対応していることを説明したいのですが・・・。

この際、関数行列式（ヤコビアン）が０になってしまうと、逆行列が存在せず、
逆変換が、出来なくなってしまうようなのですが、これはどうしてなのでしょうか？

そもそもヤコビアンが０になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識は正しいでしょうか？

ヤコビアンが０になると、逆行列が出来なくなる理由、逆変換が出来なくなる理由を、簡単でもかまいませんので、
教えてください。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

＞ヤコビアンが０になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識

ヤコビアン≠０は、逆変換が存在する十分条件であって、必要条件ではありません。
例えば、実３次元の変換 f : (u, v, w) → (u^3, v^3, w^3) は可逆ですが、
(u, v, w) = (0, 0, 0) で ヤコビアン＝０ になります。
可逆な座標変換について考察するときは、そういうモノまで含めると煩瑣になるので、
ヤコビアン≠０ を仮定して、対象を限定してしまうことが多いのです。

＞逆変換が出来なくなってしまうようなのですが、これはどうしてなのでしょうか？

逆変換ができないのは、もとの変換が一対一対応でない場合です。
次数を落として１次元の場合を考えると、わかり易いのでは？
y = f (x) のヤコビアンは f ' (x) ですが、
f ' (x) = 0 となる x を含む区間では、f () の逆関数はどうなるでしょうか。
f (x) = x^2 などの具体例で考えましょう。

＞逆行列が出来なくなる理由、逆変換が出来なくなる理由を

逆行列が出来なくなる理由は、ヤコビアン（＝ヤコビ行列式）が０のとき
ヤコビ行列が正則でないからです。ここが難しいなら、線型代数を復習しましょう。
高校の教科書でも十分だと思います。

逆変換が出来なくなる理由は、極大雑把には、座標変換は一点の近傍では
その点でのヤコビ行列を掛ける一次変換のようなもの（～で近似できる）なので、
ヤコビ行列が不可逆なら変換も不可逆だということです。正式な定理は参考URLを。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem