微分

質問

断面積が半径ａcmの円形の管がある。この管を水平において、満水したとき。これを閉ざす垂直壁の片面の受ける全圧力を求めよ。ここで、深さｘcmのところで１cm^2の面がうける水圧はｘgと考えて良い。

物理？とかそっちのほうは全然分からないのでちんぷんかんぷんです。教えて下さい。

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

タイトルは「微分」となっていますが，「積分」ですよね？ 物理と思わずに，積分法の構成と同じだと考えれば，わかりやすいのではないでしょうか。

円形の管の断面図を描くのはお任せしますが，深さxのときの水面の幅（円の弦の長さ）は √{a^2-(a-x)^2} ですよね。垂直方向の微小幅Δxに対する部分を長方形で近似すると，面積は √{a^2-(a-x)^2}(Δx) となり，その部分にかかる力は（仮定より）x√{a^2-(a-x)^2}(Δx) です。この量を0から2aまで連続的に加えたものが求める力Pであり，それは積分で表されるので

P =∫_0^(2a) x√{a^2-(a-x)^2} dx

ここで，a-x = a*sinθ により置換すると

P =∫_(π/2)^(-π/2) (a-a*sinθ)*√{a^2-(a*sinθ)^2}*(a-a*sinθ)' dθ
= a^3∫_(π/2)^(-π/2) (1-sinθ)*cosθ*(-cosθ)dθ
= a^3∫_(π/2)^(-π/2) {(cos^2 θ)*sinθ-cos^2 θ}dθ
= a^3∫_(π/2)^(-π/2) (-cos^2 θ)dθ　
　　　　　(∵ cos^2 θ*sinθ は奇関数)
= (a^3/2)∫_(-π/2)^(π/2) (1+cos 2θ)dθ
= (a^3/2) [ θ+(1/2)*sin 2θ ]_(-π/2)^(π/2)
= (π/2)*a^3

逆に，物理の勉強をするときも，微積分を通して考えると，わかりやすくなることが多いです。

お礼

あ、積分ですね(^_^;)
しっかり分かりました。
丁寧に教えて下さってありがとうございました！