調和関数について

質問

Ω={(x1,x2)∈R^2 | (x1)^2+(x2)^2<1}とし、
uはΩ⊂R^2において調和関数とします。

このとき極座標表示x1=rcosθ,x2=rsinθ（0≦r<1,0≦θ≦2π）を用いて
∫(0～2π)(∂/∂r)(∂u/∂r)rdθを考えたいのですが、

uが調和関数なら
∫(0～2π)(∂/∂r)(∂u/∂r)rdθ＝(∂/∂r)∫(0～2π)(∂u/∂r)rdθ
が明らかだというのは何故なのでしょうか？
調和関数の性質？からでしょうか・・・。

どなたか、解説または証明を教えてください。
よろしくお願い致します。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

記号が面倒なので
∫[a,b] f(r,θ)dθ
をrで偏微分することを考えましょう。状況は全く同じです。ここでfは考えている範囲でC^1とします。r=tにおける偏微分係数を定義に従って書けば極限の形ですよね？そこでrに関して平均値の定理を使って極限を微分に直してやります。あとは通常の収束定理がそのまま使えるはずです（導関数は連続としてあるので有限区間上で最大、最小値をもちます）。

お礼

タメになりました！ありがとうございます。

回答No.1

ringohatimitu

調和関数独特の性質によるものではないです。C^2であることだけで十分です。積分領域が有界なのと、(u_r)rが滑らかな関数であることに注意してLebesgueの収束定理などを使えばよいでしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。
考えてみましたが、uが具体的な関数でないため、うまくLebesgueの収束定理を使って評価できずに困っています。
よろしければ
∫(0～2π)(∂/∂r)(∂u/∂r)rdθ＝(∂/∂r)∫(0～2π)(∂u/∂r)rdθ
とできることの証明をお願いできませんでしょうか？
知識不足で申し訳ありません・・・。