ラプラス方程式 一様収束

質問

Ω={(x*,x**)∈R^2 | x*^2+x**^2<1}
という円板領域において次の境界値問題を考えています。

Δu(x)=0　(x∈Ω)　（１）
u(x)=g(x)　(x∈Ωの境界)　（２）
ただしg(x)はΩの境界で与えられた連続関数とします。

このとき極座標x*=rcosθ、x**=rsinθを用いて考えた時に

U(θ)=∫(0～2π)P(θ-ρ)g(ρ)dρ
ただしP(θ-ρ)=(1/2π)((1-r^2)/(1-2rcos(θ-ρ)+r^2))　(0≦r<1,θ∈R)
（つまりポアソン核）とする。

このときU(θ)が（１）を満たすことを証明したいのですが、
それにはまずU(θ)において積分と微分の交換が可能であることを証明しなければいけませんよね。

そのために
| d(P(θ-ρ)g(ρ))/dx |≦h(ρ)　かつ　∫h(ρ)dρ＜∞
となるh(ρ)を見つける必要があると思います。
しかし、このようなh(ρ)をうまく見つけることができません。

どのように評価していけばでてくるのでしょうか？
どなたかh(ρ)の導出をよろしくお願い致します。

また、何か間違いがありましたらご指摘いただければと思います。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

もしかして、話がひっくり返ってませんかね。お書きの積分が至る所で収束するなら微分と順序を交換して構わない。で、収束するかどうかは被積分関数によるわけで、要するにgがそういう性質を持つ関数のクラスから選ばれるかどうか。そのクラスをアプリオリに与えたのなら、積分が収束するという性質をそのクラスの任意の要素が満たすかどうかが問われねばならんのですし、逆に積分が収束するという条件だけを課した最大限のクラスは何か、という風に問うこともできましょう。

お礼

もう一度、整理して考えたいと思います。
ありがとうございました。