青チャート 基本例題１０（分数式の恒等式）
次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。
-2x^2+6/(x+1)(x-1)^2=a/x+1-b/x-1+c/(x-1)^2
僕の解き方
まず分母を全て揃えます、その後、そろった分母の式（x-1)^2(x+1)
を掛けます。 そうすると、分数でない形になり、数値代入法
x=1,-1,2を代入します。
答えは解答と一致しました。
解説
分数式でも、分母を０とするｘの値（本問ではー１、１）を除いて、
すべてのｘについて成り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して
整理すると両辺の分母は一致しているから、分子も等しくなるように、
係数比較法または数値代入法でa,b,cの値を定める。このとき、分母を払った多項式を考えるから分母を０にする値x=１、ー１を代入してもよい。（以下省略）
検討 分母を０にする値x=-1,1を代入してよいかが気になるところであるが、これは問題ない。なぜなら、代入したのは、ｘ＝１、ー１でも成り立つ等式である。したがって、ｘにどんな値を代入してもよい。
そして、この等式が恒等式となるように係数を定めれば、両辺を（x+1)
(x-1)^2で割って得られる分数式も恒等式である。ただし、これはx=1、
-1を除いて成り立つ。
教えてほしい所
恒等式・・・含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式
の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式を、その文字についての恒等式という。
この説明のその等式の両辺の値が存在する限りの部分がイマイチぴんとこないのでスルーしていたせいでこの解説を読んで混乱しています。
僕の解き方は解説のような解き方ではないんですが、明らかに０にしているので解き方としてマズイですか？？
また、なぜなら、代入したのは、ｘ＝１、ー１でも成り立つ等式である。という部分がサッパリ理解できません。
消しちゃいけないのに、なぜ０になるような数値でもいいのでしょうか？？
後、ただし、これはx=1、-1を除いて成り立つ。なのはなぜですか？？？
文章能力がないので非常に分かりずらいかもしれません。
意味がわからない部分があったら補足します。
教えて下さい。
お礼
遅れてごめんなさい 本当に助かりました ありがとうございました