「２次関数でa=0の時、最大値はない」の背理法の途中に疑問発生！！

質問

[証明]　x<2を満たすxの最大値をMとおくと、M<2
このとき、Mと2の中間の値 N=1/2(M+2) をとるとNはMより大きく、しかも2より小さい。
…と続いていき、もともとxの最大値がないのに、あるとしたために起こった矛盾であるから、xの最大値はないことになる、と結論付けられています。
しかしこの証明途中にある、Mと2の中間の値 N=1/2(M+2) をとると、とありますがMと2の間に値なんて取れるんですか？　x<2を満たすxの最大値がMなんだからMの次は2でしょう？　私の考えは間違っているのでしょうか？

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

では逆に質問させてください。

Ｍ＋２　という計算を認めませんか？
1/2　２で割るという計算を認めませんか？
（整数だけの世界なら２で割れないこともありますが）

実数の世界では足し算、割り算には必ず答えが存在するという前提で構成されています。
すると（1/2）（M+2)という数は存在します。
そしてそれはＭと２の中間の値になってしまうのです。（引き算してみれば大小関係が成り立っていることがわかります。）

だからこそ、中間の値が無い（Ｍが最大）としたことが矛盾になって証明が完成するのです。

お礼

「x<2を満たすxの最大値をMとおくと」を言い換えれば「Mと2の間に中間の値が無いとすると」ですよね。
それにもかかわらず、このとき、Mと2の中間の値 N=1/2(M+2) をとると…、と証明を進めるのはおかしくないですか？　と何分か前に思ったのですが、
Mと2の中間の値 N=1/2(M+2) をとると…、と書いていますが私はそこが消化不良だったみたいです。意図的に取ろうとしてではなく、たまたま、1/2(M+2)という値がM<1/2(M+2)<2を満たすと分かったのでMは実は最大値ではなかった、という感じで理解しました。

背理法って感じ悪いですよね。
だって、「Mと2の間に中間の値が無いとすると」と仮定しておきながらMと2の間に値を取ろうとする。その仮定のまま証明を進めていくと思いきや、文章の上で仮定した後頭の中ではすぐに仮定をなくして「ところで…」と考えているんですから。

ご回答ありがとうございました。

回答No.5

Ichitsubo

#4です。
#4へのレスで
>Mと2の間にかならずM<N<2となる実数Nが存在する。
と書かれていますが、本当にNが存在するならばその例を示す必要がありますよね。
そのときに#3のojamanboさんのおっしゃるように、N=(M+2)/2とするのです。

回答No.4

Ichitsubo

「x<2を満たす最大値をMとする」を「Ｍと2との間に中間値がない」とすることが誤りではないでしょうか。
後者の定義ではM=2となり前者に違反します。

お礼

「Ｍと2との間に中間値がない」は考えてみれば確かにM=2ですね。Ichitsuboさん、ありがとうございます。
ojamanboさんの言うように実数と実数を割り算したらかならず実数になるんですものね。
今までのみなさんの回答を見ていてわかったような気がします。
「x<2を満たす最大値をMとする」としたものの、ある時点でMを例えば1．99と定めてもこのとき必ず1．99<N<2となるNがある…。つまりMは常に1.999999…と続いていく変数であるのにある時点で定数にしたために起こった矛盾だったということですね？
（変数とか定数という言葉の使い方が合っているか自信がないですが…）
だからこそ最大値Mは実は定められず「最大値はない」ということになるのですね？

前の私の言葉「x<2を満たすxの最大値がMなんだからMの次は2でしょう？」には次のように答えたいと思います。
「x<2を満たすxの最大値をM」としたもののMが実数の定数である以上、Mと2の間にかならずM<N<2となる実数Nが存在する。なのでMの次は2ではない。

回答No.2

ONEONE

直感的には

1．9＜1．99＜1．999＜1．9999＜・・＜1．9…(1億個)＜1．9…(1兆個)＜・・＜2
と
9の個数には限りがない。（別に9じゃなくてもいいのですが）

最大値がＭ＝1．9…(9999兆)としても
1．9…(9999兆と1)とＭより大きく2より小さい数が必ず存在してしまいます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

he-goshite-

>しかしこの証明途中にある、Mと2の中間の値 N=1/2(M+2) をとると、とありますがMと2の間に値なんて取れるんですか？　x<2を満たすxの最大値がMなんだからMの次は2でしょう？

直感的には全くそのとおりです。
それを数学的に背理法という論理で証明しているのです。
ある決まった最大値Ｍがあるとすると，・・・と理論的に（論理的に　かな？）形式をきちんとして論理を進めるとそのようになる，のです。

お礼

ご回答ありがとうございました。