解説お願いします

質問

文系数学の良問プラチカの68問
(1)sinA+sinBを積の形で表しそれが正しいことを加法定理を用いて証明せよ
(2)四角形ABCDの４つの内角をA,B,C,Dであらわすとき sinA+sinB=sinC+sinDが成り立つ四角形の形状を述べよです。
(2)が分からないです。
回答をみても分からないです。
聞けるひともいないので解説をお願い致します。

回答No.2

B-juggler · ベストアンサー

ほいほい。Ｎｏ．１です。

いいところまで来ているじゃない＾＾；

確かにつまづきやすいけれど、冷静によく見ると

なんてことはないから、落ち着いてよく見てください。

～～
(2)の解答
sinA+sinB=sinC+sinD、
および(1)で示したことから
2sin(A+B÷２)cos(A-B÷2)＝2sin(C+D÷２)cos(C-D÷2)…(1)
ここで、A,B,C,Dは四角形ABCDの４つの内角だから
A+B+C+D=360°　A>0°、B>0°、c>0°、D>0°…(2)
∴『0°<(C+D÷2)＝180-(A+B÷2)<180°』
∴sin(C+D÷2)＝sin{180°-（A+B÷2)}＝sin(A+B÷2)>0
これと、(1)より
cos(A-B÷2)＝cos(C-D÷2）
∴cos(A-B÷2)-cos(C-D÷2）=0
∴-2sin{((A-B)÷2)+(C-D)÷2))÷2}sin{((A-B)÷2)+(C-D)÷2))÷2}＝0
∴sin(A-B+C-D)sin(A-B-C+D)＝0
ここで(2)より
『-90°＜(A-B+C-D)÷4<90°、-90°＜(A-B-C+D)÷4<90°』
だから
(A-B+C-D)÷4＝0°または(A-B-C+D)÷4＝0°
∴A+C＝B+D＝180°…(3)またはA+D=B+C=180°…(4)
(3)の時四角形ABCDは円に内接
(4)の時AB//CDの台形
～～～

これが回答だね。うん。あっていると思う。

『』のなかだね。冷静に行くよ？

まずこういう変形からきていることが、見えるといいけど。

（２）より　つまり　どの角度も　０°より大きいこと、足すと３６０°に成ること。

－３６０°＜（Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ）＜３６０°　　（★）または

　－３６０°＜（Ａ－Ｂ－Ｃ＋Ｄ）＜３６０°

この式はダイジョウブだと思うけど・・・。

（Ａ＋Ｃ）－（Ｂ＋Ｄ）　を考えると、どうやったって、（★）には成っているよね＾＾；

下の式も全く同じ。

０ではないだけで、マイナスになるかもしれないし、ギリギリ大きくて、

　）例えば（　　Ａ＋Ｃ＝３５８　　Ｂ＋Ｄ＝２　でも　四角形にはなる。

実はこの式、＜　ではなくて、　≦　でもいいんだけど？

　＃なんでこうやっていないかな？　イコールつけておいた方が安全だと思うけど。

で、４で割ってるだけね。

と、『』のなかの式になるね。

ちょっと強引なこじつけに見えるけど・・・。

如何にもな幾何学だなぁ～。試験用の。

上にももう１つカッコがあるね。失礼＾＾；

上のほうにはイコールつかないか。

０＜Ｃ＋Ｄ　はいいね。当然、Ｃ＋Ｄ＜３６０だね。　°は省略＾＾；

２で割ってるだけ♪

これも当然だけど、　３６０－（Ｃ＋Ｄ）＝Ａ＋Ｂ　になるのは明らか。

　＃そうしないと四角形に出来ないね。

もちろん、Ａ＋Ｂ＜３６０じゃないとおかしい。

角度の条件をつけているだけだよ♪

これはちょっと面倒なことをやりすぎている気がします。

正弦定理を使っていくと、対角線が、

（Ａ／ｓｉｎＡ）＝（Ａ／ｓｉｎＣ）　とならなきゃウソだよね。

　＃これＡが対角線ね。

同じことがＢにも言えるから、そっちからのアプローチもあるんじゃないかと思うけどね。

　＃最初そっちを考えてました。

こっちだと円に内接するほうはすぐ分かると思うけど。

これだけだと、台形のときが出せないか？

ゆっくりでいいから、一歩ずつ、どこからその式は出てきているのか？

それだけしっかり踏みしめてください。

みんなそうやって山登りやるんだ～～＾＾；

元代数学の非常勤講師でした。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

はっとしました
もやもやがとれすがすがしいきもちです
これだから数学は好きです

わかりやすいかいせつありがとうございました

回答No.1

B-juggler

とりあえず、図を描いてみよう！

スマホで上げられないとしても、自分で図は書いてるね？

せっかく（１）で、証明しているんだから、使わない手はないね。

ｓｉｎＡ　＋　ｓｉｎＢ　＝　（積の形ＡＢ）

　＝（積の形ＣＤ）＝ｓｉｎＣ　＋　ｓｉｎＤ　なんでしょう？

対角線か何かで・・・。と、余り言い過ぎると答えになるので。

自分で解いてみて？

どこまで分かるかは書いてください。丸投げには解答しにくいからね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

返信ありがとうございます
自分で図も書き解答をみても途中の条件の所がわかりません
(2)の解答
sinA+sinB=sinC+sinD、
および(1)で示したことから
2sin(A+B÷２)cos(A-B÷2)＝2sin(C+D÷２)cos(C-D÷2)…(1)
ここで、A,B,C,Dは四角形ABCDの４つの内角だから
A+B+C+D=360°　A>0°、B>0°、c>0°、D>0°…(2)
∴『0°<(C+D÷2)＝180-(A+B÷2)<180°』
∴sin(C+D÷2)＝sin{180°-（A+B÷2)}＝sin(A+B÷2)>0
これと、(1)より
cos(A-B÷2)＝cos(C-D÷2）
∴cos(A-B÷2)-cos(C-D÷2）=0
∴-2sin{((A-B)÷2)+(C-D)÷2))÷2}sin{((A-B)÷2)+(C-D)÷2))÷2}＝0
∴sin(A-B+C-D)sin(A-B-C+D)＝0
ここで(2)より
『-90°＜(A-B+C-D)÷4<90°、-90°＜(A-B-C+D)÷4<90°』
だから
(A-B+C-D)÷4＝0°または(A-B-C+D)÷4＝0°
∴A+C＝B+D＝180°…(3)またはA+D=B+C=180°…(4)
(3)の時四角形ABCDは円に内接
(4)の時AB//CDの台形

この解答の『』がついているところ２箇所の条件がなぜでてくるかがわかりません
他の部分は大丈夫です
お願いいたします