偏微分についてです。

質問

u(t,x)=ω(x/√t)t^αとします。
（α:定数、t>0,x∈R)

このときu^mをxについて偏微分します。

x/√t=ξとおいて、
(∂/∂x)u^m=(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)=t^α • mu^(m-1) • 1/√t
(∂^2/∂x^2)u^m=t^α • m(m-1)u^(m-2) • 1/t

この計算は正しいでしょうか？
もし誤っている場合は何が抜けているかだとか
正しい計算結果を教えていただければと思います。

回答No.2

info22_

>u(t,x)=ω(x/√t)t^α
>のω(x/√t)は
>ω•(x/√t)/ではなくωがx/√tの関数という意味です。

そうならそうと書いていただかないと、回答者に正しく伝わるはずありません。
A#1はω(x/√t)はωと(x/√t)の積としての回答なので削除願います。

>ωがx/√tの関数
であるなら、改めて回答し直します。

u(t,x)=ω(x/√t)t^α、ただしωはx/√tの関数とします。

>(∂/∂x)u^m=(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)=t^α • mu^(m-1) • 1/√t
これは間違い。
正解は以下の通り。
(∂/∂x)u^m=mu^(m-1)・(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)
=m・(ω(x/√t)t^α)^(m-1)・t^α・ω'(x/√t)・1/√t
=m・(ω(x/√t))^(m-1)・t^(α(m-1))・t^α・ω'(x/√t)・1/√t
=m・(ω(x/√t))^(m-1)・t^(αm-(1/2))・ω'(x/√t)

>(∂^2/∂x^2)u^m=t^α • m(m-1)u^(m-2) • 1/t
これも間違い。
正解は以下の通り。
(∂^2/∂x^2)u^m=(∂/∂x)(∂/∂x)u^m
=(∂/∂x){m・(ω(x/√t))^(m-1)・t^(αm-(1/2))・ω'(x/√t)}
=m・t^(αm-(1/2))・(∂/∂x){(ω(x/√t))^(m-1)・ω'(x/√t)}
=m・t^(αm-(1/2))・[ω'(x/√t)・(∂/∂x){(ω(x/√t))^(m-1)}
+(ω(x/√t))^(m-1)・(∂/∂x){ω'(x/√t)}]
=m・t^(αm-(1/2))・[(m-1)(ω(x/√t))^(m-2)・{ω'(x/√t)}^2
+(ω(x/√t))^(m-1)・ω''(x/√t)]・1/√t
=m t^(αm-1)・(ω(x/√t))^(m-2)・[(m-1){ω'(x/√t)}^2+ω(x/√t)・ω''(x/√t)]

お礼

そうですよね。大変申し訳ありませんでした。
丁寧にありがとうございます。

回答No.1

info22_

>x/√t=ξとおいて、
>(∂/∂x)u^m=(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)=t^α • mu^(m-1) • 1/√t
間違い。
正しい計算
(∂/∂x)u^m=(du^m/du)(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)
=mu^(m-1)・ωt^α・1/√t
=mω^(m-1)・(x/√t)^(m-1)・t^(α(m-1))・ωt^α・1/√t
=mω^m・x^(m-1)・t^(αm)/(√t)^m
=mω^m・x^(m-1)・t^(m(α-(1/2)))

>(∂^2/∂x^2)u^m=t^α • m(m-1)u^(m-2) • 1/t
間違い。
(∂^2/∂x^2)u^m=(∂/∂x)(∂/∂x)u^m
=(∂/∂x)mω^m・x^(m-1)・t^(m(α-(1/2)))
=m(m-1)ω^m・x^(m-2)・t^(m(α-(1/2)))

お礼

u(t,x)=ω(x/√t)t^α
のω(x/√t)は
ω•(x/√t)/ではなくωがx/√tの関数という意味です。

補足

ありがとうございます。

(∂/∂x)u^m=(du^m/du)(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)
=mu^(m-1)・ωt^α・1/√t

ωt^αはどうでてきたのでしょうか？