幾何光学と線形変換

質問

物理学の幾何光学の問題です。

入射光線の方向をｓ＝（a,b,c)とし、境界面の単位法泉をＮ＝(p,q,r)とする。ただし、ｓは単位ベクトルである。
１）反射方向ｔを計算せよ。
２）屈折率をn1,n2としたときの屈折方向uを求めよ。

私は幾何的なものが苦手でこの問題を座標または線形変換を使って解きたいのですがわかりません。教えていただけないでしょうか？お願いいたします。
(大学１年)

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

問題設定は３次元空間ですが，反射も屈折もs↑とN↑で張られる２次元平面内に限定されるので，最初から
t↑=xs↑+yN↑ ---(1)
などとおいて，条件から(x,y)を求めていくと楽でしょう．どちらかというとここでは座標変換よりも，内積や外積を利用します．

１）反射の法則から，
t↑・N↑=-s↑・N↑ → xs↑・N↑+y=-s↑・N↑ ---(2)
t↑は単位ベクトルとして，
|t↑|^2=1 → x^2+y^2+2xys↑・N↑=1 ---(3)
(2)(3)を解いて，
(x, y)=(1, -2↑・N↑) or (-1, 0)
これより，
t↑=s↑-2(s↑・N↑) N↑

２）これも同様に
u↑=xs↑+yN↑ ---(4)
とおいて，反射の法則(2)の代わりにSnellの法則
|s↑×N↑|/|u↑×N↑|=n1/n2 → 1/|x|=n1/n2 ---(5)
より，(5)(3)を解いていきましょう．（以下略）
（n1＞n2のとき，s↑が境界面方向に近づくと，u↑は先に境界面方向に達するので，実際は場合分けが必要になります．）

お礼

返事が非情に遅くなり大変申し訳ございません。
線形変換などを使って座標でとこうと３日間苦戦していたのですが明らかにsakuraさんの解答のほうがわかりやすくとても簡単でした。

回答No.1

keyguy

1)
入射角(cos)は(s,-N)であり
反射角(cos)は(t,N)である。
入射角=反射角だからcos(入射角)=cos(反射角)
すなわち(s,-N)=(t,N)・・・(1)
仮定より|t|=1・・・(2)
tとSとNは同一変面内にあるから
(s,t×N)=0・・・(3)
条件が3つで未知数が3つだから解けるはず?
ただしこの解は2通り有り1つはsであるがもう1つの解が答えである。
必要に応じて|N|=1や|s|=1を使える。

2)
sin(入射角)/sin(屈折角)=n1/n2より
n1・(-N×u)=n2・(-N×s)
すなわち
n1・(N×u)=n2・(N×s)…(1)
これは3つ式があるが独立なのは2つだけである。
また|u|=1…(2)
これより未知数が3つ独立な式が3つなので解けるはず?
ただしこの解は2通り有りこのうち答えは(N,u)<0のほうである。
必要に応じて|N|=1や|s|=1を使える。

大変そうなので2次元でもしますかね？

お礼

返事が遅くなり大変申し訳ございません。
かなり難しいですね。
２次元に落として考えていたのですが変換するときＮを（０、０、１）にもって来るべきか（０，１，０）に持ってくるべきかわからなくなってしまい結局ベクトルでとくことにしました。
どうもありがとうございました。