波動・光の問題について

質問

光の問題について質問させていただきます。

問題：図の断面図に示すように均質なガラスでできた平板が空気中に置かれている。このガラスの上下左右の面は画面に垂直である。平板は屈折率nであり、また空気は屈折率1であるとする。平板の断面ABCDにおいてADの長さをLとする。また、この断面の形は長方形とする。図に示すように面ABCDに平行な光線を平板の端面ABに入射角θ1(0 <= θ1 <= π/2)で入射させた。次の問いに答えよ。

(1) 平板の端面ABに入射角θ1で入射した光の屈折角をθ2とする。このときsinθ2を屈折の法則をもとにn、θ1を用いて表せ。
(2) 平板内に進んだ光が平板のBC面に入射して、点Eにおいて全反射を起こすためには平板の端面ABにおける屈折角θ2はどのような条件を満たさなければならないか。n、θ2を用いて条件式を示せ。
(3) (2)の場合において、入射角θ1はどのような条件を満たさなければならないか。sinθ1と屈折率nの間に成り立つ条件式を示せ。
(4) 入射角θ1がいかなる値をとっても平板内に進んだ光線が平板の下面BCから外に出ないためには、屈折率の値がどのような範囲になければならないかを示せ。
(5) (3)の条件が満たされているとき、平板に入射した光線は図に示すように平板の下面BC、上面ADで交互に全反射を繰り返しながら平板の内部を進み、反対側の端面CDに達する。このようにして、光線が端面ABから端面CDに到達するのに要する時間をn、L、θ1、cを用いて求めよ。このとき、真空中の光の速さをcとする。

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(1)、(2)の問題の答えは

(1)　sinθ2 = sinθ1/n
(2) θ2 <= Cos^-1(1/n)

であっていますでしょうか？
(3)、(4)の問題も考えて、答えは出たのですが、(3)は
θ2=Sin^-1(sinθ1/n) より
cosθ2= √(n^2-sin^2θ1)/n　となり、(2)で求めた条件式に代入して整理して、
θ1 => Sin^-1(√(n^2-1))

(4) はθ1が90°になった後気でも全反射が起こるようなnの範囲を求めればよいのかと思いまして、
θ2=Sin^-1(sinθ1/n) よりθ1=90°だから
θ2=Sin^-1(1/n) 　となり、(2)で求めた条件式に代入して整理して、
n <= √(２)

となったのですが、明らかにおかしいので、(5)とともに解説していただきたいです。

長文になってしまい申し訳ないのですが、回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

> (1)　sinθ2 = sinθ1/n
> (2) θ2 <= Cos^-1(1/n)

> であっていますでしょうか？

OK

> θ2=Sin^-1(sinθ1/n) より
> cosθ2= √(n^2-sin^2θ1)/n　となり、(2)で求めた条件式に代入して整理して、
> θ1 => Sin^-1(√(n^2-1))

これはおかしい。
むしろθ1の大きさは小さいほうがよい。
θ1を大きくするとそれにあわせてθ2も大きくなる、つまり屈折光の向きはガラスの軸からより大きく傾きます。軸からの角度が大きくなると全反射の条件を満たさなくなります。むしろθ1が小さければ屈折光がガラスの軸に平行になり全反射を起こしやすくなるのです。

たぶん途中の式変形の際に不等号の向きを間違えただけでしょう。

(5)反射をしている、と考えて計算すると面倒です。
反射を無視し、非常の幅の広いガラスの中を直進し厚さLのガラスを透過するのに必要な時間を考えればよいでしょう。するとガラス内の光線の長さは簡単な式で表すことができます。
後はそれをc/nで割ればよい。

お礼

回答ありがとうございます！
とても参考になりました！
もう一度解きなおしてみます！