光の屈折について

質問

光を水に当てた時の屈折に関する質問です。

入射角θ１、屈折角θ２、入射する光の単位ベクトルをq、屈折した光の単位ベクトルをt、水面の法線ベクトルの単位ベクトルをn、空気の屈折率をn1、水の屈折率をn2をした時の屈折した光の単位ベクトルtを求めると、

t=n1/n2*[q-(q,n)+{(m2/n1)^2-1+(q,n)^2}^(1/2)]　※ただし、(q,n)は内積となります。

になるみたいです。

しかし、求めることが出来ません。

どの様に求めればよろしいでしょうか。

どうか教えてください。

回答No.4

htms42

＞法線方向（鉛直方向）の成分ベクトルは
(ｑ・ｎ)ｎ　と　(ｔ・ｎ)ｎ　です。
＞したがって水平成分ベクトルは
ｑ－(ｑ・ｎ)ｎ　と　ｔ－(ｔ・ｎ)ｎ　です。

＞これについていまいち分からないのですが、
＞これは決まり事なのでしょうか？
＞最初の２行は決まり事として理解するとして、
＞後の２行はどうしてもぴんときません。

(ｑ・ｎ)ｎは単位ベクトルｎにスカラー量（ｑ・ｎ）がかかっています。ｎの方向を向いた大きさが（ｑ・ｎ）のベクトルということになります。
（ｑ・ｎ）はベクトルｑからベクトルｎに下ろした垂線の長さです。
したがって（ｑ・ｎ）ｎはｑのｎ方向成分ベクトルです。
水平方向成分ベクトルをｘとします。
ベクトルの合成の規則から
ｘ＋(ｑ・ｎ)ｎ＝ｑ
です。
ｘ＝ｑ－（ｑ・ｎ）ｎ
になります。

＃３の最後の式
(ｎ１／ｎ２)^２＝(ｓｉｎθ２／ｓｉｎθ１)^２
　　　　　　　＝（１-(ｃｏｓθ２)^2）／（１－(ｃｏｓθ１)^2）
　　　　　　　＝（１－(ｔ・ｎ)^2）／（１－(ｑ／ｎ)^2）
は変換ミスがありました。
正しくは
(ｎ１／ｎ２)^２＝(ｓｉｎθ２／ｓｉｎθ１)^２
　　　　　　　＝（１-(ｃｏｓθ２)^2）／（１－(ｃｏｓθ１)^2）
　　　　　　　＝（１－(ｔ・ｎ)^2）／（１－(ｑ・ｎ)^2）
です。

お礼

回答ありがとうございました。
しっかりと理解することが出来ました。

回答No.3

htms42

＞qについて
水平方向：qsinθ1
垂直方向：qcosθ1

ｔについて
水平方向：tsinθ2
垂直方向：tcosθ2

ｑもｔも単位ベクトルですから水平成分の大きさは
ｑｓｉｎθ１＝ｓｉｎθ１
ｔｓｉｎθ２＝ｓｉｎθ２
です。これだと屈折の式そのままです。式の中にｑ、ｔの水平成分であるということが分かるような表現を入れないといけません。
ベクトルとして成分を表すために内積の方法を用いています。
法線方向（鉛直方向）の成分ベクトルは
(ｑ・ｎ)ｎ　と　(ｔ・ｎ)ｎ　です。
したがって水平成分ベクトルは
ｑ－(ｑ・ｎ)ｎ　と　ｔ－(ｔ・ｎ)ｎ　です。
この２つは同じ向きを向いているベクトルですからｓｉｎの比率を使うことが出来ます。
［ｔ－(ｑ・ｎ)ｎ］／ｓｉｎθ２＝［ｑ－(ｑ・ｎ)ｎ］／ｓｉｎθ１
これに屈折の式を当てはめると
ｔ－(ｔ・ｎ)ｎ＝［ｑ－(ｑ・ｎ)ｎ］＊(ｎ１／ｎ２)
ｔ＝［ｑ－(ｑ・ｎ)ｎ］＊(ｎ１／ｎ２)＋(ｔ・ｎ)ｎ
右辺の第１項は問題文の中に出てきています。
第２項をｑであらわす必要があります。
上で使っていない鉛直成分の式と屈折の式を組み合わせます。

(ｎ１／ｎ２)^２＝(ｓｉｎθ２／ｓｉｎθ１)^２
　　　　　　　＝（１-(ｃｏｓθ２)^2）／（１－(ｃｏｓθ１)^2）
　　　　　　　＝（１－(ｔ・ｎ)^2）／（１－(ｑ／ｎ)^2）
これを解くと（ｔ・ｎ）が求まります。
ｔ＝の式に入れると目的の式が出てきます。

お礼

回答ありがとうございます。
非常に助かっています。

回答して頂いた下の４行について質問です。

法線方向（鉛直方向）の成分ベクトルは
(ｑ・ｎ)ｎ　と　(ｔ・ｎ)ｎ　です。
したがって水平成分ベクトルは
ｑ－(ｑ・ｎ)ｎ　と　ｔ－(ｔ・ｎ)ｎ　です。

これについていまいち分からないのですが、
これは決まり事なのでしょうか？

最初の２行は決まり事として理解するとして、
後の２行はどうしてもぴんときません。

勉強不足で大変申し訳ないのですが、
宜しければ詳しく教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

htms42

＞t=n1/n2*[q-(q,n)+{(m2/n1)^2-1+(q,n)^2}^(1/2)]　※ただし、(q,n)は内積となります。

ｔ、ｑはベクトルです。
（ｑ・ｎ）はスカラーです。
ｑ－（ｑ・ｎ）は意味を持ちません。

屈折の規則が分からないのか、ベクトル表現が分からないのか
どちらでしょうか。
屈折の規則は高等学校で出てきますね。
入射角、屈折角と屈折率の関係を示す式です。

屈折の図を書いて単位ベクトルを書き込んでみてください。
ｎは水面に垂直で下向きとする方が分かりやすいです。

お礼

回答ありがとうございます。

ｔ、ｑをそれぞれ分解すると、

qについて
水平方向：qsinθ1
垂直方向：qcosθ1

ｔについて
水平方向：tsinθ2
垂直方向：tcosθ2
となります。

屈折の法則が
n1/n2=sinθ2/sinθ1
となります。

これらの式を使ってやってみたのですがうまく出ません。

今考えている方法は、
(q,n)=cosθ1
(t,n)=cosθ2
n1/n2=sinθ2/sinθ1
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
の４つの式を使って求めようとしているのですが
やはり結果に辿り着くことが出来ません。

htms42さんはどの様にお考えですか。

回答No.1

kata_san

こちらを参考に
↓屈折
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%88%E6%8A%98
↓屈折率
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%88%E6%8A%98%E7%8E%87
関連項目も参考にどうぞ