この式の因数分解の方法を教えて下さい。

質問

経済学の勉強をしていて、どうしても解けない式が出てきてしまって、
前に進めず困っています。
以下の式を、手順に沿って教えてください。

-40r^2-58r+3>0

この式が

(-20r+1　(2r+3)>0

こうなります。

どうしてこうなるのかがわかりません。
たすき掛けのやり方は分かっているのですが、
そのやり方では、事実上不可能であり、本来のとき方を教えて欲しいのです。
私は頭が良くないので、手順に沿ってご指導いただけると大変助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

-40r^2-58r+3 …… (1)
を因数分解した結果は、おそらく(ar+b)(cr+d)の
形をしているであろう、と見当をつけます。
(ar+b)(cr+d)=acr^2+(ad+bc)r+bd …… (2)
(1)(2)を見比べます。
bd=3ですので、(b,d)の組合せは(1,3)か(-1,-3)であると見当がつきます。
次に、ac=-40ですので、
(a,c)の組合せは、マイナス符号をいったん横へ置いておくと、
(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)のいずれかであると見当がつきます。
(b,d)の組合せと(a,d)の組合せをたすきがけして、rの1次の係数である-58を求めます。
(1,40)と、(1,3)か(-1,-3)からでは、-58は作れません。
(2,20)と、(1,3)か(-1,-3)からでは、
20×3=60
2×1=2
ですから、符号を勘案するとうまい具合に-58が作れそうです。
というわけで、
a=-20,d=3
b=1,c=2
を計算してみると、ad+bc=-60+2=-58となり、どんぴしゃりです。
∴-40r^2-58r+3=(-20r+1)(2r+3) …… (3)

たすきがけ以外の方法では、2次方程式の解の公式を使う、という手もありそうです。
仮に、-40r^2-58r+3=0 とおいたとき、解の公式に当てはめると
r=-{29±√(29^2+120)}/40=-{29±√(841+120)}/40
=-(29±√961)/40=-(29±31)/40=-3/2, 1/20
ですから、
-40r^2-58r+3=-40{r+(3/2)}{r-(1/20)}となり、
左の{}には2を、右の{}には20をかけて外側の40を帳消しにすると、
-40r^2-58r+3=-(2r+3)(20r-1) …… (4)
(3)と(4)とは実質的に同じことですね。

お礼

分かりやすく丁寧な回答ありがとうございました！
しっかり理解して、使える知識にします。
回答を見ておもったことは、やはり自力では到底クリアできない
式だなと再確認しました。

ありがとうございました。