不定積分が解けません

質問

今、1/(x^2-6x+5)^2の積分が全く溶けません
(x^2-6x+5)^2をt-xとしてt で積分するのは分かるんですけど、
そこからどうしたらよいか分かりません

1/cosx の積分も解けません
tan(x/2)をt と置いて、
cosx =1-t^2/1+t^2 と置けたので
(1+t^2 /1-t^2)*(2/1+t^2 )をt で積分してlog (1-t^2 )/-t まで解けたのですが
ここからどうすればよいか分かりません

回答No.2

miya2004 · ベストアンサー

別の解法ですが、
1/(x^2-6x+5)^2=1/32×(2/(x-1)^2+1/(x-1)+2/(x-5)^2-2/(x-5))と変形できます。

cosx =(1-t^2)/(1+t^2)と書かないと分かりづらいですよ。
上式を両辺微分して、
-sinxdx=-4t/(1+t^2)^2
sinx=2t/(t^2+1)より、
dx=2dt/(t^2+1)^2
1/cosxdx=(1+t^2)×2dt/((1-t^2)×(t^2+1)^2)=2dt/(1-t^4)
後は、上式を積分すればよいです。

お礼

分かりやすく書いていただきありがとうございます
しっかり自分で解けるようにがんばります

回答No.1

physicshatena

どちらも部分分数分解の問題ですね

1) 1/(x^2-6x+5)^2
={1/(x-2)-1/(x-3)}^2
=1/(x-2)^2+1/(x-3)^2-2/(x-2)(x-3)
=1/(x-2)^2+1/(x-3)^2-2/(x-2)+2/(x-3)

　　となるのでこれを積分してください。

2) 1/cosx
=cosx/1-(sinx)^2

　　となります。あとはt=sinxとして置換積分してください。