高階微分方程式とそれにまつわるΔの質問

質問

http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr01

上記サイトをご参考ください。
まず、微分方程式で2階、3階、……n階となると
微分の記号の分子のdに指数が付き、分母は変数に指数がつきます。
これはなぜでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

ta20000005 · ベストアンサー

fの微分f'はxを微小なdxだけ変化させた時のfの変化がdfの時
f'=df/dx
で表されます。
よって、
y'
=dy/dx
y''
=(y')'
=dy'/dx
=d(dy/dx)/dx
=(d^2)y/(dx)^2
y^(3)
=(y'')'
=dy''/dx
=d(d^2y/(dx)^2)/dx
=(d^3)y/(dx)^3
…
となります。通常分母側の(dx)^nはdx^nと略記しますので、
y^(n)=(d^n)y/dx^n
(実際には分子側の()もつきませんが、ネットのテキスト表記ということで)のような表記になります。

補足

ご解答ありがとうございます。

そうなると分子はわかるのですが分母の指数はxだけではなく
dにもかかっているということになりますがその理解で良いでしょうか？

回答No.4

ta20000005

dを約分するような誤った使い方をしないで正しく扱うならもちろん大丈夫ですよ。たとえばxとyが媒介変数tを用いた関数である時には
dy/dx
=(dy/dt)/(dx/dt)
ですが、この分母は
(d/dt)x
ですから、dxをdとxの積のように分けた表現になります。

回答No.3

ta20000005

はい、そうなりますね。ちょっとわかりにくいですが、dxという一塊をn乗した表現なんです。

補足

よく分子のデルタは
dr/dx=d/dx×rのようにデルタとその関数を掛け算のように扱うのは見られますが
分母の場合はdxはd×xではなく、dxという1つの記号でありこれを
d×xのように扱ってはいけませんでしょうか？

回答No.1

Tacosan

イメージ的には
d/dx で 1つのもの
だから, ねぇ....