名前を教えてください

質問

ある理工系の掲示板にこんな照明がありました。

与式は
(1)　f=m/x　　m=整数
これをxで微分して
(2)　df/dx=-m/x^2
いっぽう（１）より
(3)　1/x=f/m
これを(2)に代入して
df/dx=-m(f/m)^2=-f^2/m
ゆえに相対変化は
(4)　df/f=-f/m・dx
であるのでmに反比例する。以上

元の現象はm=0を含むのに(3)で除外してるし(4)の右辺にはコトバ失ったんだけど
（df/f=-dx/xだしmに関係ないのは分かってます）
まあそれはいいんですけど、
この詭弁には数学で名前がありますよね。
トートロジーじゃない、何ですか？

回答No.8

stomachman

tautologyはマトモな推論の形式の名前です。
tautology：Aであるとすると、Aである。
dilemma：AであるとするとBである。AでないとするとBである。ゆえにBである。
reductio ad absurdum: Aでないとすると矛盾が生じる。ゆえにAである。

マトモな推論を使って、無条件の矛盾を証明したのなら、これは大変なことで、数学基礎論上の大発見。
マトモな推論を使って、直観に反する命題を証明したのなら、これも数学基礎論に一石を投じるparadox。
ある命題を証明したかのように見えて、よくよく調べてみると証明になってないってのは、ニセの証明であり誤謬、fallacy。
しかしご質問の場合には、「それで？」と言いたくなる。何を証明したつもりか不明、主張すべき命題も明示できていない、つまり証明の体をなしていない訳で、詭弁や「詭計じみた論法」どころか誤謬にすらなってない単なる妄言nonsenseと見えます。

お気に召す名前かどうかは自信ありませんけどね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

stomachman

●ちと不親切な回答をしちゃったかなと反省こいています。
まず、
「∂f/∂x=-(f^2)/m
であるとき、∂f/∂xはmに反比例するか」
と聞かれたら、「m≠0であるとき、fを(0でない値に)固定したとすればYES。」が答です。

だけども、注意すべきことがある。
f=m/x
という制約条件を考慮しますと、「fを(0でない値に)固定する（たとえばf=cに決める）」というのは、同時に「c=m/xを満たすxだけについてだけ話をする」という意味でもあります。ここんとこをもう少し説明しましょう。

分かりやすくするために∂f/∂xのことをf'(x,m)と書くことにします。
「m≠0であるとき、fを(0でない値に)固定したとすればf'(x,m)はmに反比例する」というのは
「S={<x,m> | m≠0 ∧ f=m/x ∧ f=c ∧ c≠0}
という集合を定義したとき、
ある定数Kが存在して、任意の<x,m>∈S についてf'(x,m)=K/mが成り立つ」
という意味です。
ご質問の場合、Kが
K=-(c^2)
であることは言うまでもありません。
Sを具体的に書くと、
S = {<1/c,1>,<-1/c,-1>,<2/c,2>,<-2/c,-2>,...｝
であり、その任意の要素<x,m>について、
f'(x,m)=-(c^2)/m
は確かに成り立つ訳ですから、「m≠0であるとき、fを(0でない値に)固定したとすればf'(x,m)はmに反比例する」という命題は正しいんです。

●しかし、#6の補足にあるような問題を扱っていたのだとしますと、上記の考察はまるでピントはずれですね。Sに含まれる<x,m>では、xがとびとびの値しか許されないのですから。

●で、
> f=m/xの式は、xはアナログの計測データがデジタル変換されたもので変換に伴う
> 誤差を有しています。そのxで整数を除算した結果がfで、論争は、ｆの誤差はm
> によって変わるか変わらないかなんです。

> 相対誤差ならmによらない。
> 誤差の絶対量ならmに正比例。
> ですよね。

なるほど、そういうお話でしたか。つまり「fの相対誤差」を問題にしていて、「fの相対誤差はmに反比例する」という命題もどきの「照明」だったんですね。（これはナニを固定したのかはっきり言ってないから命題モドキなんです。）ご質問だけですと、何を証明した（つもりな）のか分からないので、ファラシイ（誤った証明）にすらなっていない、と申し上げました。

●ついでにコメントしておきますと、微分を使って誤差を評価するのは、必ずしも適切とは言えません。

xの真値をx0、xの誤差を表す確率変数をεと書くことにしましょう。
x=x0+ε
また、fの真値をf0、fの誤差を表す確率変数をδと書くことにしましょう。
f=f0+δ
だから、
f0=m/x0
f0+δ=m/(x0+ε)
です。

たとえば、|x0|が|ε|よりかなり大きいのであれば、
1/(x0+ε)
= (1/x0)(1/(1+ε/x0))
= (1/x0)(1-ε/x0)/(1-(ε/x0)^2)
ここで|ε/x0|<<1ですんで、(1-(ε/x0)^2)≒1として
≒(1/x0)(1-ε/x0)
= (x0-ε)/(x0^2)

ですから、
f0+δ≒m(x0-ε)/(x0^2)=m/x0-mε/(x0^2)
つまり
δ≒ -mε/(x0^2) = -mε/((x-ε)^2 )
です。

この計算の代わりに、|ε|がうんと小さいとき
δ≒(df/dx)ε
と書けることを利用して微分で近似をやったのがご質問にある式であり、
df/dx = -m/x^2
より
δ≒ -mε/x^2
となります。|ε|がすんごく小さいとしているので、xとx0の区別は無いわけです。
ですが、このやり方は、「|x|が|ε|よりかなり大きいのであれば」という前提が見えにくくなるんで、機械的に適用するのはアブナッカシイです。

ともあれ、fの誤差は(mとx0を固定すると)εに概ね比例し、(x0とεを固定すると)mに(正確に)比例し、(mとεを固定すると)x0^2に概ね反比例します。

さて、fの相対誤差というのはδ/f0ですから、(もちろんf0=0のときはδ/f0は定義されません。）
δ≒ -mε/x0^2
を用いると、
δ/f0
≒ -mε/(x0^2)/f0
= -x0ε/(x0^2)
= -ε/x0
= -ε/(x-ε)
となる。
fの相対誤差δ/f0は、m=0の場合には（f=f0=δ=0ですんで）定義されない。また、m≠0ならδ/f0は(xを固定すると、|x|が|ε|よりうんと大きいとき、mによらず)εに概ね比例し、(εを固定すると、|x|が|ε|よりうんと大きいとき、mによらず)x0に概ね反比例。

とやるのが良さそうです。

補足

そういうことですね、合意に到ってうれしいです。
で、お聞きしたいのはこんな詭計じみた論法を何といいましたっけ？なんです。

回答No.6

stomachman

●(1)式はｘを固定した(ある値に決めた）ときに、fがmに比例していることを表しています。
たとえばx=2としたとき、m=0ならf=0（でありdf/dx=0）、m=1ならf=0.5（でありdf/dx=-0.25）、 m=2ならf=1（でありdf/dx=-0.5)、という風に。
●(4)式はfを固定したときに、df/dxがmに反比例していることを表しています。
たとえばf=1としたとき、m=1ならdf/dx=-1（でありx=1）、m=2ならdf/dx=-0.5（でありx=2)、という風に。こちらはm=0の時は定義されませんが。
●そして
df/dx=-f/x (あるいはdf/f=-dx/xと書いてもいいですが。）
という式はx=0でなければいつでも成り立ちます。

これらは全部タダシイです。

確かに仰るとおり、(3)(4)式に「(m=0でないとき)」と但し書きをつけなかったのは不親切ではあります。また、最後に「以上」なんちゃってますが、何を証明したつもりで「以上」なんだかさっぱり意味不明ですね。
　でも、それらの舌足らずを除けばナンにもおかしな所はなく、これは詭弁じゃありません。ですから矛盾でもファラシイでもなく、強いて言えば「xを固定すればfがmと比例する」ことと「fを固定すればdf/dxがmに反比例」するという別のことを混同したという、ただそれだけのコンフュージョンとでも申しますか…

補足

レスありがとうございます。
f=m/xの式は、xはアナログの計測データがデジタル変換されたもので変換に伴う誤差を有しています。そのxで整数を除算した結果がfで、論争は、ｆの誤差はmによって変わるか変わらないかなんです。
この前説も書いておけば良かったかな。
それなので、fでの誤差は、
相対誤差ならmによらない。
誤差の絶対量ならmに正比例。
ですよね。
それを、(4)式のように変形した式で「mに反比例する」と言うのは詭弁だと思うんですが。

回答No.5

hinebot

#1です。
「アンチノミー」かな？

回答No.4

suzuhide

照明は証明の事?

補足

そうでした！
ＮＯ２の捕捉を見てくださいよろしく

回答No.3

winterofmeei

パラドックスですか？

補足

ＮＯ２のレスを見てください。たしかに結果だけ提示された人にはパラドクスなんだけど、

回答No.2

hinebot

＃１です。
質問文の「トートロジーじゃない」からとっさに出てきたのが「トポロジー」ですが、これは「位相」のことですから、ご質問の内容とは違いますね。

詭弁ということなら、「ソフィストリー」ですね。

補足

それは分かるんですが、

f=m/xの与式自体からはｍに比例してると言える、
しかし(4)式のようにしてｍに反比例してると言う。

つまり、虚な前提からは何でも真になる、とかのやつです

回答No.1

hinebot

「トポロジー」のこと？