行列の変形についておしえてください

質問

A^-1 + B^-1 -B^-1*C*A^-1
を
(A*(A+B-C)^-1*B)^-1に変形したいのですが途中の計算がわかりません。
どなたか教えてください＞＜

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

逆行列に関する公式 (FG)^-1 = (G^-1)(F^-1)
を使って、
( A{ (A+B-C)^-1 }B )^-1
= (B^-1){ A+B+C }(A^-1)
= (B^-1)A(A^-1) + (B^-1)B(A^-1) + (B^-1)C(A^-1)
= B^-1 + A^-1 + (B^-1)C(A^-1).
これを、下から上へ順に見てくといい。

このような変形を思いつくかどうかは、
そのような変形が本当に必要かどうか次第かと。
必要な式なら見つけざるを得ないし、
変形後の式を見つけることと、変形過程を見つけることは、
ほぼ同じことなんだろうと思う。

公式のほうは、FG{ (FG)^-1) } = FG(G^-1)(F^-1) に
左から (FG)^-1 を掛ければ証明できる。

お礼

ありがとうございました！
分からなかった変形が理解できました～。ほんとうにありがとうございました。