高校の物理の問題の解き方を教えてください

質問

8.0×10の-6乗Cの正の点電荷がある。
(1)この電荷から0.60m離れた点の電界の強さはいくらか。

(2)　(1)の点で、電界に垂直な3.0m2の面を通る電気力線は何本か。

どの公式を使えば良いのかなども教えて頂ければ助かります。よろしくお願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

すべて、真空内での話として回答します。

(1)点電荷が作る電場の公式を使って求めます。

Ｏ点に点電荷Ｑ[C]があり、Ｏからの距離がｒ[m]である地点Ｐに作られる電場Ｅ(※)は、
大きさ（強さ）が
Ｅ＝ｋ・Ｑ/(ｒ^2)　なお、式中のｋはクーロン法則の定数で、9.0・10^9[N・m^2/(C^2)]です。
で、
向きは
(a)Ｑ>0なら　ＯからＰに向かう向き
(b)Ｑ<0なら　ＰからＯに向かう向き

(※)空間に、電荷Ｑ[C]とｑ[C]の電荷とが、距離ｒ[m]離れて置かれていたとします。これらの間にはクーロンの法則で知られる静電気力Fが働きます。
F＝ｋ・Q・ｑ/(ｒ^2)
この力を、次のように再解釈して、電場というアイデアを生み出します。
力Ｆは、Ｑが直接ｑに作用した力ではなく、Ｑが在るために周囲の空間が変化して、別の電荷ｑはこの変化した空間から力を受けるのだ、と考えることにしたのです。
　なぜって、一方の電荷が、遠く離れているもう一つの電荷のことをどうして知ることができるのでしょう。遠く離れているモノから直接影響を受けるということは、異常なことだと思うのが自然な感覚です。　そこで、電荷から直接力を受けると解釈するのではなく、自分がいる周囲の空間からの影響で力を受けるのだと解釈することにしたわけです。
　この、変化した空間を電場と呼びます。ただ、力の大きさは変わってはおかしいのでＦの大きさはそのまま、解釈をし直します。電荷ｑは電場Ｅから力を受けるので、その力はＥ、ｑに比例するものとします。つまり、

　Ｆ＝Ｅ・ｑ

と書けるものとして、Ｅを定めてみることしたのです。この解釈で、後々矛盾が発生したら、定義し直せば良いわけですが、こう定めることで、矛盾が生じないことがわかっています。

　Ｆ＝ｋＱｑ/(ｒ^2)＝Ｅ・ｑ

となりましたから、電荷Ｑが、そこからｒ離れた地点に作る電場Ｅは

　Ｅ＝ｋＱ/(ｒ^2)

と書き表せることになります。

(2)　電気力線の本数は、次のように決めることになっています。

電荷Ｑから伸びる電気力線の本数は　
４πｋＱ[本]　　πは円周率、ｋはクーロンの法則の定数です。

このように決めた理由は、次の通りです。

電気力線の混み具合と電場の強さには関連があります。具体的には、電気力線が混み合っている所では電場が強く、疎らになっているところでは電場が弱いのです。
そこで、電場の強さを、電気力線の混み具合（密度）で表してやろうというアイデアが生まれました。
空間の任意の点で、その地点での電気力線に垂直で、小さな面積ΔＳの平面（面積がほとんど０の適当な平面です。ΔＳ≒０です）を考えます。この平面を貫いている電気力線の本数がＮ本であったとき

電場Ｅの強さ＝Ｎ/ΔＳ　　或いは、Ｎ＝Ｅ・ΔＳ

と定めたのです。

たとえば、たった１個の電荷ｑ[C]が原点に有ったとします。この電荷からは　４πｋｑ本の電気力線が、放射状に、どの方向にも同じように（等方的と言います）伸びていることになります。
原点からの距離がｒ[m]の地点では、その電場の強さは同じはずです（対称性からそう判断すべきことがわかるはずです）。電気力線の密度が同じという意味だとも言えます。
距離ｒの地点ＰでＯＰに垂直な、小さな面積ΔＳの平面を考えます。これを貫く電気力線はｎ本だったとしましょう。
ところで、原点からｒの地点ならどこでも同じ状況であるはずですから、それらのすべての点についてまとめてみると
ｎの総計は、結局ｑ[C]から伸びている電気力線の総本数　４πｋｑ本になるはずですし、ΔＳの総計は、Ｏを中心とした半径ｒの球の表面積４πｒ^2に等しいはずです。

つまり、定義に従って、ここでの電場の強さは
Ｅ＝ｎ/ΔＳ＝４πｋｑ/(4πｒ^2)＝ｋｑ/(ｒ^2)
として良いことがわかります。これは、点電荷が作る電場の強さと一致します。

お礼

細かく書いて頂きありがとうございます。助かりました。