物理シミュレーションにおける有限要素法について

質問

物理シミュレーション技法に有限要素法というものがあります。私は有限差分法とか境界要素法でのプログラミングの経験はありますが、有限要素法はありません。勉強中です。

そこで１つ教えて頂きたいことがあります。方程式に加速度項がある、すなわち動的な問題を考えています。加速度項はすなわち、質量×加速度＝力ということで、質量と関連しています。
そこで、加速度項には質量行列というものができます。（このあたりは込み入っているので原理を理解している方・経験者の方への質問となりますが）

この質量行列は対称行列になりますが、対角行列ではありません。ところが、突然その質量行列を対称行列に変えて（質量集中行列という）それを使って計算するという風になってしまいます。

えっ？何故？と問いたくなりますが、経験的にそれでよい、場合によってはその方がいい結果が出るなどと説明されています（説明ではなく説得）。ネットに出ている資料では有限要素法は経験学問であり、実績としてそれがいい結果を出しているなどと書いているのです。対角行列の方が取り扱いが簡単になり、結果が早いだろうというのは想像できます。メモリも大量に必要ないですし。対角行列だったらすでに行列計算の必要はなく、ちょっとした割り算で答えが出てしまいます。

このようなこと（対角行列での置き換え）が可能なことを何らかの演繹的な説明なしに受け入れるのは難しい感じがします。どのように理解すればいいのでしょうか。こだわりがないとラクになるのですが、変だなと思って先に進むのをためらっています。システム全体の対角化だったら分かりますが、質量行列だけ対角化したものを使うということです。

少し調べると、”それ（質量集中行列化）が問題だから、このような（いろいろテクニックを駆使）工夫をした”、というような文献も出てきます。私は質量集中行列化はFEMの原理を理解する上で大いに問題だと思っているのですが。

込み入った質問で申し訳ありませんが、回答をよろしくお願いします。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

質問されてから，かなり時間がたってしまったので，今さら回答するのは遅いかも知れませんが，もしお役に立てば，と思い，書き込みます。

質量マトリクス[M]は，剛性マトリクスとほぼ同じバンド幅を持ち，決して対角行列ではありません。
特定の問題では，質量集中マトリクスとしてモデル化した方が近似度が高い場合もありますが，それは特殊な問題であって，一般には定義式に従って，
［Ｍ］＝∫[N]Tρ[N]dV
で計算して用います。
この結果は，決して対角行列にはなりません。

あなたが読まれた文献が「説明ではなく説得」である理由を想像するに，その著者は，その先で，振動の固有値問題
｜[K]－ω^2[M]｜＝０
の解法を具体的に（C言語などで記述して）提示していませんか？
もしそうだとすると，その著者は，[M]が対角行列でない場合の上の固有値問題の解き方を知らないので，誤魔化しているのだと思います。
[M]が対角行列でない場合の具体的なアルゴリズムを示せる人は，有限要素法の理論を知っている人の中でも，それほど多くはないのです。

「有限要素法は経験学問であり、実績としてそれがいい結果を出している」というのも事実です。
たとえば，非適合シェル要素がなぜよい結果を出すのか？　その要素の積分の際には”低減積分”などという理論的には説明も付かないことをするとなぜ精度が上がるのか？　などはその最たる例です。
しかし，今の振動の問題での，”強引な質量集中マトリクス化”は，全く別問題であり，何か別のことを隠したいがための言い訳にしか聞こえません。そしてその”隠したいこと”が，「[M]が対角行列でない場合の，固有値の解法の具体的なアルゴリズムを示せない」と推測しています。