ベルヌーイ数
『
ベルヌーイ数B_i(i=1,2,...)は次式で定義される
(1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! + ...)^(-1) = 1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
ここで、zは複素数である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)B_1とB_2を求めよ。
(2)上式の左辺は次のように書きかえられる事を示せ。
(1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! +...)^1 = z/(e^z - 1)
(3)次のような関係式が成り立つ事を示せ。
z cot z = iz + 1 + B_1(2iz) + B_2(2iz)^2/2! + ...
(4)z/(e^z - 1) + z/2はzに関する偶関数である事を示せ。さらに、この結果を利用して、
B_2k+1 = 0, k = 1,2,...
を示せ。
』
という問題です。
(1)については自分なりに考えてみました。
a_n = 1/(n+1)!, b_n = B_n/n! (n≧0)、但しb_0=1
と置くと
(lim(n→∞)Σ(k=0～n)a_k z^k)^(-1) = lim(n→∞)Σ(j=0～n)b_j z^j だから
lim(n→∞)Σ(k=0～n)Σ(j=0～n)a_k b_j z^(j+k)) = 1 ←こうしちゃっていいのか自信が無いのですが。。。
これが恒等式となるためには左辺のzの1次以上の項の係数が0である必要がある。よって
B_1についてはk+j=1の係数を見て
a_1b_0 + a_0b_1 = 1/2! + B_1 = 0 ∴B_1 = -1/2
B_2についてはk+j=2の係数を見て
a_2b_0 + 2a_1b_1 + a_0b_2 = 1/3! + 2*1/2!*B_1 + B_2/2! = 0 ∴B_2 = 4/3
と考えたのですがこれで正しいのでしょうか？
(2)以降については手の付け所が分からないのでさっぱりです。
よろしくお願いします。
お礼
HPを見て見たらベルヌーイの定理について書いていたのですが、ベルヌーイ数とベルヌーイの定理とは同じものなのでしょうか？