数学Ａについて

質問

平面上の1つの円の内部を通る直線を「r本の直線が既に引かれているとき、(r+1)本目の直線は、それまでに引かれているr本の直線と円の内部で交わるように引く」という規則にしたがって、次々と引いていく
ただし、3本以上の直線が円内の1点で交わることはないものとする
このとき、10本の直線が引かれている状態では、円の内部はこれらの直線でいくつの領域に分けられているか

解き方をお願いします

回答No.1

ferien · ベストアンサー

平面上の1つの円の内部を通る直線を「r本の直線が既に引かれているとき、(r+1)本目の直線は、それまでに引かれているr本の直線と円の内部で交わるように引く」という規則にしたがって、次々と引いていく
ただし、3本以上の直線が円内の1点で交わることはないものとする
＞このとき、10本の直線が引かれている状態では、
＞円の内部はこれらの直線でいくつの領域に分けられているか
引かれている直線が
１本のとき、２本目と作る領域の数４
２本のとき、３本目と作る領域の数７（３本目の直線は２本と交わる）
３本のとき、４本目と作る領域の数１１（４本目の直線は３本と交わる）
　　　　　………
９本のとき、１０本目と作る領域の数？を求める。
ａ1＝４とすると、
ａ2＝７
ａ3＝１１
　………より、
ａ9を求める。
ａr+1－ａr＝（ｒ＋１）＋１＝ｒ＋２だから、
ａ9－ａ8＝１０
　………
ａ3－ａ2＝４
ａ2－ａ1＝３
両辺を加えると打ち消し合うから、
ａ9－ａ1＝３＋４＋……＋１０
　　　　＝８×（３＋１０）／２
　　　　＝５２
ａ9＝ａ1＋５２＝４＋５２＝５６
よって、１０本の直線が引かれている状態では５６の領域に分かれる。

でどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます
大体理解できるのですが、ａr+1－ａr＝（ｒ＋１）＋１＝ｒ＋２という一般項がなぜわかったのかが分かりません よろしければ教えてください

回答No.5

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

> 「この線は既に出来ている領域のうちの(r+1)個を横切るわけです」というのがなぜわかるのでしょうか できれば教えて頂きたいです

　既にr本の直線が引かれているところに、もう一本の直線を円周の上から（円周なしで考えるなら無限遠から）ゆっくりと伸ばして行くところをイメージすればいいのです。（実際に3本か4本の線を描いておいて(r=3か4)、新しい線を以下のようにごくゆっくりと観察しながら描いてみると分かりやすいと思います。）
　円周上から出発した直後には、線の先っちょはr本の線で区切られた領域のうちのひとつの中にありますね。これを領域1としましょう。直線をだんだん伸ばして行くと、いずれこの線の先っちょは、これから横切ることになるr本のうちの最初の一本と交差します。するとその瞬間、領域1は二つに切り分けられたわけです。
　さらに直線を伸ばすと、先っちょは新たな領域（領域2）に突入します。どんどん伸ばして行くと、ついにr本のうちの二本目の線に交差する。これで、領域2も二つに切り分けられました。
　同様にして、既に描いてある線と先っちょが交差するたびに、それぞれ新たに領域一つが、二つに切り分けられることになります。先っちょがr本のうちの最後の一本と交差した瞬間、r番目の領域rが二つに切り分けられます。
　さらに先っちょが進むと、そこはr+1番目の領域(領域r+1)です。先っちょが円周に到達すると（円周なしで考えるなら無限遠に到達すると）、領域r+1も二つに切り分けられます。
　かくて、r本の線が引かれている時にあった領域のうちのr+1個が、新たに引いた線によってそれぞれ二つに切り分けられたことになります。

お礼

よく分かりました
回答ありがとうございました

回答No.4

ferien

ANo.1です。

＞ａr+1－ａr＝（ｒ＋１）＋１＝ｒ＋２という一般項がなぜわかったのかが分かりません
＞よろしければ教えてください

ａ1＝４，ａ2＝７，ａ3＝１１から、
ａ2－ａ1＝７－４＝３（＝２＋１）
ａ3－ａ2＝１１－７＝４（＝３＋１）
だからです。
そんなに難しいことではありません。よく考えれば分かります。

お礼

ａ2からａ1を、ａ3からａ2を引いたりすればできるのですね 分かりました
回答ありがとうございました

回答No.3

stomachman

何も最初に円を決めて掛からなくたっていいんです。線は全く勝手にひくことにして、ただし、(1)線が3本以上同じ場所で交差したら駄目、(2)既にあるどれかの線と平行な線は駄目、という条件さえあれば良い。なぜなら、すべての交点を囲むような円をあとで描き、そしてその図をまるごと縮小して気に入ったサイズに収めれば同じ事ですから。
　ということは円なんか実は必要なくて、「これら勝手に引いたr本の線で、平面がいくつの領域に分けられるか」と尋ねても答は同じなんですよ。

　さて、r本の線があるところに新たに線を１本ひくと、他の線との交点がr個できる。すなわち、この線は既に出来ている領域のうちの(r+1)個を横切るわけです。だから、これら(r+1)個の領域を二つに分けることになる。従って、r本の直線でできる領域の数をA[r]とするとA[r+1]がどうなるかはもうお分かりでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
「この線は既に出来ている領域のうちの(r+1)個を横切るわけです」というのがなぜわかるのでしょうか できれば教えて頂きたいです

補足

引き方で領域の個数が変わるからA[r+1]が全く分からないのですが良ければ教えてください

回答No.2

151A48

r本の直線で、a(r)個の領域に分かれているとする。
r+1本目を引いたとき、すでにある直線とr個の点で交わり、これによりr+1本目の直線は円内でr+1個の線分に分かれる。それぞれの線分はすでにある領域を２つに分けるので領域がr+1個増える。
よって　a(r+1)=a(r)+r+1 という漸化式ができる。
a(1)=2 , a(2)=4
一般項を求めてもよいが、１０個くらいなら、前から順番に計算した方がはやいかも。

お礼

回答ありがとうございます
やはりa(r+1)=a(r)+r+1がすんなり出る理由が分かりません 教えてください お願いします